2024年山西省中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——五、运动产生的相似三角形问题(含全等)

2024年山西中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——五、运动产生的相似三角形问题(含全等) 一、考查次数： 6年1考：2016.23(2) 二、例题讲解： 例1、如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c交x轴于点A，B(6，0)，交y轴于点C(0，6)．连接AC、BC. (1)求抛物线的表达式； (2)点M是y轴上的点，连接AM，若△AOM与△AOC相似(不包含全等)，求点M的坐标； 1. 例1题图① (3)点N是y轴上的点，若△AON和△CAN相似，求点N的坐标； 1. 例1题图② (4)若点D是y轴上一动点，连接BD，是否存在以点B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； 1. 例1题图③ (5)设抛物线对称轴交抛物线于点D，与x轴交于点E，点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使得以点D、C、P为顶点的三角形和△BEC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 1. 例1题图④ (6)R是抛物线上一动点，是否存在一点R，使△ROB与△ROC全等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由； 1. 例1题图⑤ (7)点Q是第一象限内抛物线上一动点，过点Q作QG⊥BC交BC于点G，是否存在点Q，使得以Q、C、G为顶点的三角形和△AOC相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 1. 例1题图⑥ 2.如图，已知抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC. (1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的顶点坐标； (2)点P是y轴上的点，连接AP，若△AOP与△AOC相似(不包含全等)，求点P的坐标； (3)点P是y轴上的点，若△AOP和△CAP相似，求点P的坐标； (4)若点P是y轴上一点，连接BP，是否存在以点B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (5)点P是抛物线上一点，是否存在点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；[2016山西23(2)题考查] (6)点D是抛物线的顶点，连接BD，CD，点P是线段BD上一点，是否存在点P，使得以点B，O，P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，连接AC，点F是线段OA上的点，过点F作FH∥y轴交抛物线于点H，交AC于点G，若以C，G，H为顶点的三角形与△AFG相似，求点F的坐标； 1. 例2题图① (3)如图②，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点E是对称轴上一点，点F在抛物线上且位于对称轴的左侧，过点F作对称轴的垂线，垂足为G，是否存在点E，使得△AEH≌△EFG？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； 1. 例2题图② (4)如图③，连接AC，BC，点I是线段AC上的点，过点I作IJ∥y轴交抛物线于点J，作IK∥x轴交y轴于点K，当以I，J，K为顶点的三角形与△BOC相似时，求点I的坐标． 例2题图③ 四、课后练习： 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知点C的坐标为(－4，0)，点P是直线AB上的一个动点．若以A，P，C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标． 1. 2. 如图，抛物线y＝－x2＋x＋2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标． 1. 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋x＋4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点． (1) 求点A、C的坐标； (2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标． 4. 如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m. (1)求点A，B及抛物线顶点的坐标； (2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D. (1)求抛物线和直线AC的函数表达式． (2)如图2，若P是第二象