题型01 不等式-2024届高三数学冲刺宝典

4 专题二 新高考卷题型归纳与技法训练 题型 1 不等式 技法 01 基本不等式链的应用及解题技巧 【技法解读】 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成 立;可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 【典例剖析】 例 1．若 x，y 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由基本不等式链: , 可得 ，对于 AB,由 可变形为, ， 解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，∴A错误， B正确；对于 C,由 可变形为 ，解得 ， 当且仅当 时取等号，∴C正确. 【答案】BC 【对点练习】 （多选）若 ，则下列不等式对一切满足条件 恒成立的是（ ） A． B． C． D． 技法 02 权方和不等式的应用及解题技巧 【技法解读】 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. 注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决卷中的这类型最值问题的秒杀. 【典例剖析】 例 2.已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．1 B． C．9 D． 【解析】因为2 3a b  ，所以4 2 6a b  由权方和不等式 2 2 2( )a b a b x y x y     ， 2 2 2 ( 0, 0) 1 12 2 a b a b ab a b a b         a b 2 2 1  x y xy 1x y  2x y   2 2 2x y  2 2 1x y  2 2 2 ( 0, 0) 1 12 2 a b a b ab a b a b         2 2 2 2 2 a b a b ab         2 2 1  x y xy   2 2 1 3 3 2 x y x y xy           2 2x y    1x y   2x y   1x y  2x y  2 2 1  x y xy   2 2 2 2 1 2 x y x y xy      2 2 2x y  1x y   0, 0, 4a b a b    ,a b 2ab  2a b  2 2 4 3 a b  1 1 1 a b   , , , 0a b x y  2 2 2( )a b a b x y x y     a b x y  1 1, 2 a b  2 3a b  1 1 1 2 1a b    9 2 1 2 5 可得  2 22 2 11 1 1 1 9 1 4 2 2 1 4 4 2 1 4 4 2 1 4 4 2 1a b a b a b a b                  ，当且仅当 2 1 4 4 2 1a b    ，即 7 2 , 6 3 a b  时，等号成立． 【答案】C 【对点练习】 已知正数 x，y满足 4x y  ，若 2 2 1 2 x y a x y     恒成立，则实数 a的取值范围是 ． 题型 2 函数的基本性质 技法 01 函数单调性的应用及解题技巧 【技法解读】 1. 同一定义域内 (1)增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗; (2)减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘; (3) 为↗，则 为↘， 为↘; (4)增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗; (5)减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘ ;(6)增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）. 2. 复合函数的单调性：换元分解+同增异减. 【典例剖析】 例 1．（2020·全国 II卷）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是偶函数，且在 单调递减 【解析】 在定义域内 是增函数， 在定义域内 是减函数， ∴ 在 单调递增. 【答案】A 【对点练习】 1．设函数 ，则 （ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 2．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 技法 02 函数奇偶性的应用及解题技巧 【技法解读】