题型25 概率统计大题综合解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

98 题型 25 概率统计大题综合解题技巧 技法 01 分布列与数字特征应用及解题技巧 【技法解读】 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值 xi(i ＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量 X的概率分布列; (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量 X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随 机变量取值的平均水平; (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y也是随机变量，且 E(aX＋b)＝aE(X)＋b; (3)①若 X服从两点分布，则 E(X)＝p；②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np. 3．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量 X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X)) 2描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度．而 D(X)＝∑ n i＝1 (xi－ E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的平均偏离程度，称 D(X)为随机变量 X的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量 X的标准差; (2)D(aX＋b)＝a2D(X); (3)若 X服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p); (4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)． 【典例剖析】 例 1．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题 中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一 类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问 题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知 小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题 的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答 A 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【解析】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ． ； ； ．∴ 的分布列为 X X X 0 20 100  0 1 0.8 0.2P X        20 0.8 1 0.6 0.32P X      100 0.8 0.6 0.48P X     X X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 99 （2）由（1）知， ．若小明先回答 问题，记 为小明的累 计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ． ； ； ．∴ ．∵ ，∴小明应选择 先回答 类问题． 【对点练习】 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从 8道备选题中随机 抽取 4道题目进行作答．假设在 8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 且每道题正确 完成与否互不影响，小宇能正确完成其中 6道题且另外 2道题不能完成． (1)求小明至少正确完成其中 3道题的概率； (2)设随机变量 X 表示小宇正确完成题目的个数，求 X 的分布列及数学期望； (3)现规定至少完成其中 3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中 选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 技法 02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 【技法解读】 1. 两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量 X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称 p＝P(X＝1)为成功概率． 2. 超几何分布列 一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则事件{X＝k}发生的概 率为 P(X＝k)＝ CkMC n－k N－M C n N ，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*， 称分布列为超几何分