题型23 8类排列组合与4类二项式定理解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

88 题型 23 8 类排列组合与 4类二项式定理解题技巧 技法 01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技 巧 【技法解读】——求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列 的空档中 定序问 题除法 处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共 n 个)进行排列，然后用总排列数 Ann除以 m个顺序一定的元素之间的全排列数 A m m，即得 到不同排法种 Ann Amm ＝An－mn . 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组 分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，∴ 分组后一定要除以 A n n(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m组元素个 数相等，则分组时应除以 m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这 样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等， ∴不需要除以全排列数． 隔板法 将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有 种。解决 此类问题常用的方法是“隔板法”，∵元素相同，∴只需考虑每个盒子里所含元素个 数，则可将这 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档 处，则可将这 个元素划分为 个区域，刚好对应那 个盒子. 环排 问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数 为 涂色 问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总 数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的 颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行 涂色即可. 【典例剖析】 例 1-1．有 3名男生和 2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ） A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 n m 1 1 m nC   n  1n   1m  n m m n 1 1 n nA   n m 1 1 1 n m m n m n m mC A A      n m ( 2 )n m 1 1 m n m n m n mA A      89 【解析】不同排法种数为 种. 【答案】B 例 1-2．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ） A．12 B．36 C．48 D．72 【解析】先排丙、丁、戊三人，共有 种排法，甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，共有 种排法，故排法种数为 ． 【答案】D 例 1-3．运输公司从 5名男司机，4名女司机中选派出 3名男司机，2名女司机，到 ， ， ， ， 这五个不同地区执行任务，要求 地只能派男司机， 地只能派女司机，则不同的方案种 数是（ ） A．360 B．720 C．1080 D．2160 【解析】第一步，先从 5名男司机，4名女司机中选派出 3名男司机，2名女司机，共有 种 方法，第二步，从抽取到的司机中，派 1名男司机去 地，派一名女司机去 地，共有 种 方法，第三步，剩下 3名司机随机去 ， ， 三地，共有 种方法，故不同方案种数为 . 【答案】D 例 1-4．2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆 全网，被称为“村 BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从 网上找到 6个与此相关的短视频 ， ， ， ， ， ，准备从这 6个短视频中再选出 3个向学 生推荐，则 ， ， 至少选 1个的方法种数为（ ） A．8 B．18 C．19 D．24 【解析】不同选法种数为 . 【答案】C 例 1-5．某学校购买了 10个相同的篮球分配给高三年级 6个班，要求每个班至少一个篮球，则 不同的分配方法有（ ） A．126种 B．84种 C．72种 D．48种 【解析】将 10个篮球排成一排，形成 9个空，插入