题型20 圆锥曲线解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

70 过 𝑃(𝑥0, 𝑦0) 为双曲线 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 的两支作两条切线, 则切点弦方程为 𝑥𝑥0 𝑎2 − 𝑦𝑦0 𝑏2 = 1. 【典例剖析】 例 6．过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 ，求直线 的方 程 ． 【解析】代入切点弦方程为 xx0 a2 − yy0 b2 = 1求解即可，答案为： . 【答案】 【对点练习】 1．过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 A，B，求直线 AB 的方程． 2．已知椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，点 在双曲线 上，则该双曲线在点 处的切线的斜率为 ． 技法 07 抛物线中的切线问题解题技巧 【技法解读】 设 𝑃(𝑥0, 𝑦0) 为抛物 线 y 2 = 2𝑝𝑥 上的点, 则过该点的切线方程为𝑦𝑦0 = 𝑝(𝑥 + 𝑥0)； 设 𝑃(𝑥0, 𝑦0) 为抛物线 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 开口外一点, 则切点弦的方程为:𝑦𝑦0 = 𝑝(𝑥 + 𝑥0). 【典例剖析】 例 7．抛物线 在 处的切线方程为 ． 【解析】代入切线方程为yy0 = p(x + x0)，求解即可，答案为： . 【答案】 【对点练习】 1．抛物线 在点 处的切线方程为 ． 2．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线 上一点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ． 题型 20 圆锥曲线解题技巧 技法 01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 【技法解读】 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在𝛥𝑃𝐹1𝐹2 中,记 ∠𝐹1𝑃𝐹2 = 𝜃, 椭圆定义可知: (1) |𝑃𝐹1| + |𝑃𝐹2| = 2𝑎, |𝐹1𝐹2| = 2𝑐； (2) 焦点三角形的周长为 𝐿 = 2𝑎 + 2𝑐； (3) |𝑃𝐹1 ∥ 𝑃𝐹2| = 2𝑏2 1+cosθ ； (4)焦点三角形的而积为: 𝑆 = 1 2 |𝑃𝐹1 ∥ 𝑃𝐹2|sinθ = 𝑏 2tan θ 2 . 2. 双曲线焦点三角形主要结论 (3,3)P C 2 2 1x y  ,A B AB 3 3 1 0  x y 3 3 1 0  x y (3,1)P C 2 2 1x y  2 2 1 25 9 x y     2 2 2 2 : 1 0 , 0 x y C m n m n     1 2,F F 9 4 , 5 P       C P 2 8y x  2,4M 2 0x y   2 0x y   2 1y x   1,0 O  2,1Q  2: 2 ( 0)C x py p  2x  P C ,M N PM PN 71 𝐹1、𝐹2 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点, 记 ∠𝐹1𝑃𝐹2 = 𝜃, 则 △ 𝑃𝐹1𝐹2的面积𝑆 = 𝑏2 tan 𝜃 2 . 【典例剖析】 例 1-1．设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （） A．1 B．2 C．4 D．5 【解析】∵ ，∴ ，从而 ，∴ ． 【答案】B 例 1-2．设 ， 为双曲线 的两个焦点，点 P在双曲线上，且满足 ，则 的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 【解析】 △ 𝑃𝐹1𝐹2的面积𝑆 = 𝑏2 tan 𝜃 2 =1. 【答案】D 【对点练习】 1．已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为 9，则 = . 2．设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 技法 02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 【技法解读】 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆𝐶: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的弦为 𝐴𝐵, 过𝐴，𝐵两点做椭圆切线，交于𝑄点，称△ 𝐴𝐵𝑄 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 𝐴𝐵 绕着定点 𝑃(𝑚, 0) 转动时, 则其所对顶点 𝑄 落在直线 𝑥 = 𝑎2 𝑚 上.其中, 当 𝑃 点为左 (右) 焦点时, 𝑄 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 𝐴𝑄, 𝑃𝑄, 𝐵