题型19 3类对称与4类切线解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

67 题型 19 3 类对称与 4 类切线解题技巧 技法 01 点对称问题解题技巧 【技法解读】 点 (𝑥, 𝑦) 关于直线 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 的对称点坐标(𝑥 − 2𝐴(𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶) 𝐴2+𝐵2 , 𝑦 − 2𝐵(𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶) 𝐴2+𝐵2 ). 【典例剖析】 例 1．点 关于直线 的对称点的坐标是 ． 【解析】直线 中， ,∴ ， ∴ ， ，答案为 . 【答案】 【对点练习】 已知直线 恒过定点 P，则点 P 关于直线 的对称点的坐标是 ． 技法 02 直线对称问题解题技巧 【技法解读】 直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习. 【典例剖析】 例 2．已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的方程为 A． B． C． D． 【解析】x的 y系数绝对值为 1:1型，可反解， ，代入 ，即 . 【答案】A 【对点练习】 直线 关于直线 的对称直线的方程为 . 技法 03 圆对称问题解题技巧 【技法解读】 圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式 求解即可.  6, 1 2 4 0x y   2 4 0x y   4,1,2  CBA 5 17 22    BA CByAx 5 38)(2 22     BA CByAxA x 5 29)(2 22     BA CByAxB y 38 29 , 5 5       38 29 , 5 5       (1 ) 2 0k x y k     2 0x y   1 : 2 1 0l x y   2l 1l :l y x  2l 2 1 0x y   2 1 0x y   2 1 0x y   2 1 0x y   yxxy  1 : 2 1 0l x y   2 1 0x y   2 5 0x y   3y x= + 68 【典例剖析】 例 3．已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设圆心 关于直线 的对称点为 ，用例 1公式求解，解得 ，∴圆 的标准方程为 . 【答案】A 【对点练习】 已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 技法 04 圆中的切线问题解题技巧 【技法解读】 1. 已知圆方程为: ,若已知切点 在圆上,则切 线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为: ,若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ; 3. 已知圆方程为圆: . (1)过圆上的 点的切线方程为 ; (2)过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 . 【典例剖析】 例 4-1．经过点 且与圆 相切的直线方程为 ． 【解析】代入 求解即可，答案为 . 【答案】 例 4-2．过圆 上点 的切线方程为 ． 2 2 1 : 4C x y  2C 2 5 0x y   2C     2 2 4 2 4x y        2 2 4 2 4x y        2 2 2 4 4x y        2 2 2 4 4x y    1C  0,0 2  1 0,0C 2 5 0x y    2 ,C a b 4 2 a b      2C     2 2 4 2 4x y    2 2 1 2 2 1 0:C x y x y + + + 2C 1C 1 0x y   2C 2 2 4 4 7 0x y x y     2 2 4 4 7 0x y x y     2 2 4 4 7 0x y x y     2 2 4 4 7 0x y x y      2 2 2 20 4 0x y Dx Ey F D E F         0 0,P x y 0 0 0 0 0; 2 2 x x y y x x y y D E F        2 2 2x y r   0 0,P x y