题型18 立体几何大题解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

59 题型 18 立体几何大题解题技巧 技法 01 空间中的平行关系解题技巧 【技法解读】 1.线线平行 (1)三角形、四边形的中位线与第三边平行; (2)平行四边形的性质（对边平行且相等）; (3)内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. 2.线面平行的判定定理 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 3.线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 4.面面平行的判定定理 判定定理 1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理 2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平 行，则面面平行 图形语言 符号语言 5.面面平行的性质定理 性质定理 1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面; 性质定理 2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行.    // // l b l bl         bl b l l // //                 // , // //           ba Aba b a     // , , // //               nm ba Bnm Aba mb na   60 【典例剖析】 例 1-1．如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 . 【解析】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， ∵ 是三棱锥 的高，∴ 平面 ， 平面 ， ∴ 、 ，又 ，∴ ，即 ， ∴ ，又 ，即 ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ 为 的中点， 又 为 的中点， ∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . 例 1-2．如图 1，已知四边形 为直角梯形， ， ， ，M 为 CF 的中点．将 沿 折 起，使得点 C 与点 A 重合，如图 2，且平面 平面 ， 分别为 的中点． (1)求证：平面 平面 . 【解析】（1）证明：∵Q，H分别是 的中点， ∴ ．∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ．如图，连接 ，∵N，P分别是 的中点， ∴ 且 ．易知 且 ，∵Q是 的中点， ∴ ， ，∴ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ．∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． ∵ ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 . 【对点练习】 1.（2022·北京卷）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， 平面 平面 ， ，M，N 分别为 ，AC 的中点． (1)求证： 平面 . 2.如图，直三棱柱 中， .过点 的平面和平面 的交线记作 . (1)证明： // . PO P ABC PA PB AB AC PB / /OE PAC BO AC D OA PD PO P ABC PO  ABC ,AO BO  ABC PO AO PO BO PA PB POA POB△ △ OA OB OAB OBA  AB AC 90BAC   90OAB OAD    90OBA ODA    ODA OAD  AO DO AO DO OB  O BD E PB //OE PD OE  PAC PD  PAC //OE PAC CDEF CF DE∥ DE EF 2 2CF DE EF  CDMV DM ADM  DEFM , , ,N Q H P , , ,AF DM DE AE //PQH EMN ,DM DE QH ME QH  EMN ME EMN //QH EMN PN ,AF AE //PN EF 1 2 PN EF DM EF∥ DM EF DM //QM EF 1 2 QM EF QM PN∥ QM PN QMNP PQ MN∥ PQ  EMN MN  EMN //PQ EMN QH PQ Q QH  PQH PQ  PQH //PQH EMN 1 1 1ABC A B C- 1 1BCC B 1 1BCC B  1 1ABB A 2AB BC  1 1A B MN∥ 1 1BCC B 1 1 1ABC A B C- 1 2, 3, 4, 30AA AB AC ACB    1 1, ,A B C ABC