题型17 10类球体的外接及内切解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

52 ， .故选 A. 【答案】A 【对点练习】 1．数列 满足 ，则数列 的前 项和等于 A． B． C． D． 2．设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ） A． B． C．180 D．240 题型 17 10 类球体的外接及内切解题技巧 技法 01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 【技法解读】 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝ 4 3 πR3 1.底面外接圆的半径 r的求法 （1）正弦定理 ； （2）直角三角形：半径等于斜边的一半； （3）等边三角形：半径等于三分之二高； （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R; ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2; (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 3.正棱锥类型——(𝒉 − 𝑹)2 + 𝑟2 = 𝑅2, 解出 𝑅 【典例剖析】 例 1-1．若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积 为（ ） A． B． C． D． 【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即 ，∴这个球的表面积为 . 【答案】C     2 2 2 3 1 3 2 5 9 9 2 2 n n n n          2 31 30 31 9 1 10 10 5 10 92 961 31 cos 495 25 10.5 2 2 3 2 S S a                  na  1 1 2 1 n n na a n      na 60 1830 1832 1834 1836  na      *1 2 1 cos 1 N 2 n n n a n n        n nS 120S  60 120 2 ( sin a r A  通用） 2 3 12 24 36 144       2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 R     2 24 4 3 36S R      53 例 1-2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积 为（ ） A． B． C． D． 【解析】正四棱锥 P-ABCD的外接球的球心在它的高 上，记为 O， PO=AO=R， ， =4-R，在 Rt△ 中， ，由勾股定理 得 ，∴球的表面积 . 【答案】A 【对点练习】 1．已知底面边长为 1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 A． B． C． D． 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 3．如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，如 果 ，则求 的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积 为 ______． 5．已知正四棱台的高为 ，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，其顶点都在同一球 面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 技法 02 墙角问题的应用及解题技巧 【技法解读】——墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. 【典例剖析】 例 2．已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平面 ，且 ，则球 的表面积为 A． B． C． D． 【解析】由题意可知 CA,CB,CD两两垂直，∴补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ，求的外接球的表面积 . 81 4  16 9 27 4  1PO 1 4PO  1OO 1AOO 1 2AO  2 32 3  4 2 4 3  a 2a 27 3 a 2 11 3 a 25 a P ABCD , , ,A B C D O P 16 3 P