题型13 4类解三角形大题综合-2024届高三数学冲刺宝典

32 【对点练习】 在 中，设 ， .则 、 的大小关系是（ ）. A． B． C． D．不能确定 题型 13 4 类解三角形大题综合 技法 01 双正弦及双余弦模型 【技法解读】 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是新 高考卷中的常考考点，需强加练习. 【典例剖析】 例 1．在△ABC中，点 D 在 BC 上，满足 AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列；(2)若 ，求 ． 【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理得： ①由已知得： ②，由①②联立得： ， ∵ ，∴ ．故 AB，AD，AC成等比数列. （2）在△ABC中，记 A，B，C的对边分别为 a，b，c，故 ， 由（1）知： ③，在△ABD中，设 ，由已知得 ，由余弦定理得： ，即 ④，在△ACD中，设 ， 由已知得 ，由余弦定理得： ， ⑤，由⑤＋④×2整理得： ⑥，由③⑥联立整理得： ，解得： 或 ，当 时，由 可求得 ，∴ 故舍去，当 时，由 可求得 ，满足 ，在△ABC中，由余弦定理得 综 上： . 【答案】(1)证明见解析 (2) 【对点练习】 在△ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，点 D 是边 BC 上的一点， 且 (1)求证： ； ABC cos cos cosx A B C   sin sin sin 2 2 2 A B C y    x y x y x y x y sin sinAD BAC AB B  2BD DC cos B sin sin BC AC BAC B   sin sinAD BAC AB B    AD BC AB AC   AD BC 2AD AB AC  AD BC a  2a bc ADB   2 3 BD a 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB     2 2 2 24 4 cos 9 3 c a a a    πADC    1 3 CD a 2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD ADC     2 2 2 21 2 cos 9 3 b a a a    2 2 2112 3 c b a  2 26 11 3 0b bc c   3 2 b c 1 3 b c 1 3 b c 2a bc 3 3 a c a b c  3 2 b c 2a bc 6 2 a c a c b  2 2 2 2 2 2 2 3 9 62 4cos . 2 246 2 2 c c c a c b B ac c         6 cos 24 B  6 cos 24 B  cos 3 cos 2 3 A a C b c    3 a AD  33 (2)若 ，求 ． 技法 02 周长及面积类最值问题 【技法解读】 周长及面积类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等， 是新高考卷中的常考考点，需强加练习. 【典例剖析】 例 2．△ABC的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求△ABC周长的取值范围. 【解析】（1）∵ ，可得 ，∴由正弦定理可得 ，又 为三角形内角， ，∴ ， ∵ ，∴ ，可得 ，∴ . （2）由（1）知 ，又 ，由正弦定理得 ，则 ， ， ， ， . 【答案】（1） 3  （2）  33,32 【对点练习】 1．在锐角△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． (1)求 的取值范围； (2)若 是 边上的一点，且 ， ，求△ABC面积的最大值． 2CD BD cos ADC , ,A B C , ,a b c sin sin 2 B C c a C   A 3a  sin sin 2 B C c a C   sin cos sin 2 2 A A c c a C         sin cos sin sin 2 A C A C C sin 0C  cos sin 2sin cos 2 2 2 A A A A   0,π , 0, ,cos 0 2 2 2 A A A         1 sin 2 2 A  2 6 A   3 A   π 3 A  3a  3 2 sin sin3 2 b c B C 