题型12 6类解三角形公式定理解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

28 型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的 等，复习时要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。本讲内容难度较大，需要综合 学习. 【典例剖析】 例 4．已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大 值是 A．1 B．2 C． D． 【解析】由于 垂直，不妨设 ， ， ，则 ， , ， 表示 到原点 的距离， 表示圆心 ， 为半径的圆，因此 的最大值 ，故答案为 C． 【答案】C 【对点练习】 1．已知 是单位向量， .若向量 满足 （ ） A． B． C． D． 2．已知点 A,B,C在圆 上运动，且 AB BC，若点 P的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型 12 6 类解三角形公式定理解题技巧 技法 01 海伦公式的应用及解题技巧 【技法解读】——海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是 a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明. 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: . 【典例剖析】 例 1．（2022·浙江卷）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就 a b c ( ) ( ) 0a c b c    c ,a b 0a b  c 1,c a b c   则 的取值范围是 2-1 , 2+1    ， 2-1 , 2+2    ， 1 , 2+1    ， 1 , 2+2    ， 2 2 1x y   PA PB PC  ( )( )( )S p p a p b p c    2 a b c p    2 2 2 2 2 21 4 2 a b c S a b             29 是 ，其中 a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形 的三边 ，则该三角形的面积 ． 【解析】∵ ，∴ ．故答案为 . 【答案】 【对点练习】 （多选）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： ，其中 ，a，b，c 分别为△ABC的三个内角 A，B，C 所对的 边，该公式具有轮换对称的特点．已知在△ABC中， ，且△ABC的面积为 ，则（ ） A．角 A，B，C 构成等差数列 B．△ABC的周长为 36 C．△ABC的内切圆面积为 D． 边上的中线长度为 技法 02 射影定理的应用及解题技巧 【技法解读】——射影定理 ， ， . 【典例剖析】 例 2．在△ABC中，三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若△ABC的面积 ， ， ，则 . 【解析】由 可得 在△ABC中，由正弦定理得： , 由 得， 由 得 得 ∴由余弦定理得 .解得 . 【答案】 【对点练习】 在△ABC 中，角 A、B、C的对边分别记为 a、b、c，若5 cos cos cosa A b C c B  ， 则 sin 2A  ． 技法 03 角平分线定理的应用及解题技巧 【技法解读】——角平分线定理 （1）在 ABC 中， AD 为 BAC 的角平分线，则有 CD AC BD AB  ； 2 2 2 2 2 21 4 2 c a b S c a             2, 3, 2a b c   S  2 2 2 2 2 21 4 2 c a b S c a             2 4 2 31 23 4 2 4 4 2S               23 4 23 4    S p p a p b p c    2 a b c p    sin :sin :sin 8:7 :3A B C  12 3 8π 3 BC 26 BcCba coscos  AcCab coscos  AbBac coscos  A B C a b c 2 3ABCS  6a b  cos cos 2cos a B b A C c   c  cos cos 2cos a B b A C c   cos cos 2 cos ,