题型11 平面向量解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

25 例 4．已知函数 ，若 在区间 上有且仅有 4个零点和 1个极 大值点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】 ，令 ，由 ， 则 ，则 ， ，作图如下： 有 4 个零点和 1个极大值点，即右端点 ，解得 ， 故 的取值范围是 . 【答案】D 【对点练习】 设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型 11 平面向量解题技巧 技法 01 “爪子定理”的应用及解题技巧 【技法解读】 形如 条件的应用（“爪子定理”），“爪”字型图及性质： 1.已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使得 。则 三点共线 ,当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间,当 ，则 与 位于 两侧,当 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在 线段 延长线上. 2.已知 在线段 上，且 ，则 . 【典例剖析】 例 1.已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所 示），设 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【解析】连结 ，则 为△ABC的中位线， . 【答案】A 【对点练习】    cos 3sin 0f x x x      f x  0,2π  5 23 , 3 12      19 13 , 12 6      5 13 , 3 6      19 11 , 12 6        π =cos 3sin =2cos( + ) 3 f x x x x    3 π t x  [0,2π]x Î π π ,2π + 3 3 t         =2cosf t t π π ,2π + 3 3 t        7π π 2 3 π 4π 2    19 11 12 6    19 11 , 12 6      π ( ) sin 3 f x x        (0,π)  5 13 , 3 6     5 19 , 3 6      13 8 , 6 3       13 19 , 6 6       AD xAB yAC  ,AB AC AD ,x y AD xAB yAC  , ,B C D  1x y  0 1x y   D A BC D A BC 1x y  D A BC 1x y  0, 0x y  D BC 0xy  D BC D BC : :BD CD m n n m AD AB AC m n m n     ABCD E F AB BC AB a AD b EF   1 2 a b   1 2 a b   1 2 b a 1 2 a b AC AC  1 1 1 2 2 2 EF AC a b   A B CD m n A B CD 26 设 、 分别是 的边 ， 上的点， ， . 若 （ 为实数），则 的值是 技法 02 极化恒等式的应用及解题技巧 【技法解读】——极化恒等式 ， 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线” 平方差的 ， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, ， 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: . 【典例剖析】 例 2.（2023·全国乙卷）正方形 的边长是 2， 是 的中点，则 （ ） A． B．3 C． D．5 【解析】设 CD中点为 O点，由极化恒等式可得： 故选 B. 【答案】B 【对点练习】 在△ABC中， ．P 为△ABC所在平面内的动点，且 ，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 技法 03 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 【技法解读】 1. 奔驰定理 如下图，已知 P为△ABC内一点，则有 . 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. D E ABC AB BC 1 2 AD AB 2 3 BE BC 1 2DE AB AC   1 2,  1 2  2 2( ) ( ) 4 a b a b a b      1 4 ABCD ,AB a AD