题型08 4类函数单调性与数极值最值之答题模板-2024届高三数学冲刺宝典

17 题型 08 4类函数单调性与函数极值最值之答题模板 技法 01 具体函数的单调性 【技法解读】 导函数与原函数的关系， 单调递增， 单调递减. 【典例剖析】 例 1．已知函数 ，讨论 的单调性 【解析】 的定义域为 ．由 得， ，令 ，则 ， 当 时 ；当 时， ．故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数. 【答案】 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数 【对点练习】 已知函数 ，当 a=1时，讨论 f（x）的单调性. 技法 02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 【技法解读】 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应 用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题 的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不 等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的 函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点. 【典例剖析】 例 2．已知函数 ．讨论函数 的单调性． 【解析】由题意函数 的定义域为 ． 当 时，若 ，则 单调递增；若 ，则 单调递减． 当 时，令 ，得 或 ． ①当 时， ，则 在 上单调递增． ②当 时， ，则当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增． )(,0)( xfxf  )(,0)( xfxf     1 lnf x x x   f x  f x  0,    1 lnf x x x    lnf x x     0f x  1x   0,1x   0f x   1,x   ' 0f x   f x  0,1  1,  f x  0,1  1, 2( ) exf x ax x     2 1 e , R 2 xf x ax x x x    ( )f x ( )f x       R, e e 1 1 e 1x x xf x a x x x a        0a     , 1 , 0x f x     ( )f x    1, , 0x f x     ( )f x 0a  ( ) 0f x  = 1x  lnx a  1 lna   ea  ( ) 0, ( )f x f x  R ln 1a   ea  ( , ln )x a   ( ) 0, ( ) f x f x  ln , 1x a   ( ) 0, ( )f x f x  ( 1, )  x ( ) 0, ( ) f x f x 18 ③当 时， ，则当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增． 综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． 【对点练习】 已知 ，讨论函数 的单调性. 技法 03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 【技法解读】 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主 要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续 问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证 明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参 数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点. 【典例剖析】 例 3．已知函数 ，讨论 的单调性. 【解析】 定义域为 ，∵ ，∴ . 令 ，则 ，∴ . 当 时， ，此时 ，∴ 在 上单调递减. 当 时，令 ，则 ， , ∴当 时， ，即 在 上单调递减.当 时， 令 ，则 ， . ln 1  a 0 ea  ( , 1)x   ( ) 0, ( ) f x f x  1, lnx a   ( ) 0, ( ) f x f x ( ln , )x a   ( ) 0, ( ) f x f x 0a  ( )f x ( , 1)  ( 1, )  0 ea  ( )f x    , 1 , ln ,a      1, lna 