题型07 端点效应(必要性探索)解题技巧-2024届高三数学冲刺宝典

16 点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ， 这两条直线表示同一条直线，∴ ，解得 . 【答案】1-ln2 【对点练习】 若两曲线 与 存在公切线，则正实数 a 的取值范围是 ． 题型 07 端点效应（必要性探索）解题技巧 【技法解读】——端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 . 2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 . 3.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 , , 则 或 . 【典例剖析】 例．已知函数 ． (2)若 ，求 的取值范围． 【解析】（2）构建 ，则 ，若 ，且 ，则 ，解得 ，当 时，∵ ，又 ， ∴ ， ，则 ，∴ ，满足题意； 当 时，由于 ，显然 ，∴ ，满足题意； 综上所述：若 ，等价于 ，∴ 的取值范围为 . 【答案】 (2) 【对点练习】 已知函数 ． (2)当 时， ，求 a 的取值范围. 1 1 1( , )P x y  1 1 1 1 ln 2 ( )y x x x x     2 2 2( , )P x y 2 2 2 1 ln( 1) ( ) 1 y x x x x      1 1 1 1 1 , 2, ln 2 1 1 ln 2 2 x k b x x          2 1y x  ln 1y a x  ( )f x [ , ]a b ( ) 0f x  ( ) 0f a  ( ) 0f b  ( )f x [ , ]a b ( ) 0f x  ( ) 0f a  ( ) 0f b  ( ) 0f a    ( ) 0f b  ( )f x [ , ]a b ( ) 0f x  ( ) 0, ( ) 0f a f a   ( ) 0f b  ( ) 0f b  ( ) 0f a  ( ) 0f b    2 sin π , 0, cos 2 x f x ax x x           sin 0f x x  a     2 sin π sin sin 0 cos 2 x g x f x x ax x x x               2 3 1 sin π cos 0 cos 2 x g x a x x x                 sin 0g x f x x      0 0 sin 0 0g f    0 1 1 0g a a      0a  0a  2 2 sin 1 sin sin 1 cos cos x x x x x         π 0, 2 x       0 sin 1x  0 cos 1x  2 1 1 cos x    2 sin sin sin 0 cos x f x x x x     a<0 π 0 2 x  0ax    2 2 sin sin sin sin sin 0 cos cos x x f x x ax x x x x          sin 0f x x  0a  a  ,0 0a  ( ) e eax xf x x  0x  ( ) 1f x   112 得 ，即函数 的图象关于 对称，要使函数 有唯一的零 点，则 ，即 ，得 ． 2.C【解析】画出函数 的图像， 在 y轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后 上下移动，可以发现当直线过点 A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限 移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是 函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，故选 C. 技法 05 切线与公切线的应用及解题技巧 【对点练习】 【解析】由题可知， ， ，设与曲线 相切的切点为 ，与 相切的切点为 ，则有公共切线斜率为 ，则 ， ，又 ， ，可得 ，即有 ，即 ，可得 ， ，设 ， ， ，可得 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， ,可得 处 取得极大值，且为最大值 ，则正实数 a 的取值范围 ，故答案为 . 题型 07 端点效应（必要性探索）解题技巧 【对点练习】 (2) 【解析】（2）设 ，则 ，又 ， 设 ，则 ，若 ，则 ，∵ 为连续不间断 函数，故存在 ，使得 ，总有 ，故 在 为增函数， 故 ，故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.若 ， 则 ，下证：