2024年湖南省中考数学热点题型突破讲义：专题五　代数综合

专题五 代数综合 新定义背景下的代数综合题 (2022长沙)若关于x的函数y,当t-≤x≤t+时,函数y的最大值为M,最小值为N,令函数h=,我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”. (1)①若函数y=4 044x,当t=1时,求函数y的“共同体函数”h的值; ②若函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数),求函数y的“共同体函数”h的解析式. (2)若函数y=(x≥1),求函数y的“共同体函数”h的最大值. (3)若函数y=-x2+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)①∵t=1,∴≤x≤. ∵函数y=4 044x, ∴函数的最大值M=6 066,函数的最小值N=2 022.∴h=2 022. ②当k>0时,函数y=kx+b在t-≤x≤t+有最大值M=kt+k+b,有最小值 N=kt-k+b,∴h=k. 当k<0时,函数y=kx+b在t-≤x≤t+有最大值M=kt-k+b,有最小值N=kt+k+b, ∴h=-k. 综上所述:h=|k|. (2)t-≥1,即t≥,函数y=(x≥1)最大值M=,最小值 N=, ∴h=.当t=时,h有最大值. (3)存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值,k的值为-或-. ∵y=-x2+4x+k=-(x-2)2+4+k, ∴函数的对称轴为直线x=2,y的最大值为4+k. ①当2≤t-时,即t≥, 此时M=-(t-2) 2+4+k,N=-(t+-2) 2+4+k,∴h=t-2.此时h的最小值 为. 由题意,可得=4+k,解得k=-. ②当t+≤2时,即t≤. 此时N=-(t-2) 2+4+k,M=-(t+-2) 2+4+k, ∴h=2-t.此时h的最小值为. 由题意,可得=4+k,解得k=-. ③当t-≤2≤t,即2≤t≤. 此时N=-(t+-2) 2+4+k,M=4+k, ∴h=(t-) 2. ∴h的最小值为. 由题意,可得=4+k,解得k=-. ④当t<2≤t+,即≤t<2, 此时N=-(t-2) 2+4+k,M=4+k, ∴h=(t-) 2. ∴h的最小值为. 由题意,得=4+k,解得k=-. 综上所述,k的值为-或-. 1.(2023长沙)我们约定:若关于x的二次函数y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2同时满足+(b2+b1)2+|c2-a1|=0,(b1-b2)2 023≠0,则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数.根据该约定,解答下列 问题: (1)若关于x的二次函数y1=2x2+kx+3与y2=mx2+x+n互为“美美与共”函数,求k,m,n的值. (2)对于任意非零实数r,s,点P(r,t)与点 Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图象上运动,函数y2与y1互为“美美与共” 函数. ①求函数y2的图象的对称轴. ②函数y2的图象是否经过某两个定点?若经过某两个定点,求出这两个定点的坐标;否则,请说明理由. (3)在同一平面直角坐标系中,若关于x的二次函数y1=ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A,点B,函数y1的图象与x轴交于不同两点C,D,函数y2的图象与x轴交于不同两点E,F.当CD=EF时,以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,求出该正方形面积的取值范围;若不能,请说明理由. 解:(1)由题意,可知a2=c1,a1=c2,b1=-b2≠0, ∴m=3,n=2,k=-1. (2)①∵点P(r,t)与点Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图象上运动, ∴对称轴为x==-. ∴s=-3r.∴y2=sx2-2rx+1. ∴对称轴为x=-==-. ②y2=-3rx2-2rx+1=-(3x2+2x)r+1, 令3x2+2x=0,解得x1=0,x2=-, ∴过定点(0,1),( -,1). (3)当CD=EF时,以A,B,C,D为顶点的四边形能为正方形,此时S正>2. 由题意,可知 y1=ax2+bx+c,y2=cx2-bx+a, ∴A(-,),B(,). ∴CD=,EF=. ∵CD=EF且b2-4ac>0,∴|a|=|c|. ①若a=-c,则y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a, 如图所示,要使以A,B,C,D为顶点的四边形能构成正方形, 则 CAD, CBD为等腰直角三角形, ∴CD=2|yA|. ∴=2 ||. ∴2=b2+4a2.∴b2+4a2=4. ∴S正=CD2= = =. ∵b2=4-4a2>0,∴0<a2<1.∴S正>2. ②若a=c,则A,B关于y轴对称,以A,B,C,D为顶点的四边形不能构成正方形, 综上,当a=