2024年湖南省中考数学热点题型突破讲义：专题二　函数、方程的实际应用题

专题二　函数、方程的实际应用题 销售利润问题 (2023张家界永定区一模)某新能源汽车经销商购进A,B两种型号的新能源汽车,已知2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计88万元;3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计92万元. (1)求A,B两种型号汽车的进货单价. (2)由于新能源汽车需求不断增加,该经销商准备购进A,B两种型号的新能源汽车 60辆,已知A型车的售价为25万元/辆,B型车的售价为20万元/辆.根据销售经验,购进B型车的数量不少于A型车的2倍,设购进a辆A型车,60辆车全部售完获利 w万元,该经销商购进A,B两种型号车各多少辆时,才能使w的值最大?w的值最大为多少? 解:(1)设A型汽车的进货单价为x万元,B型汽车的进货单价为y 万元. 依题意,得解得 答:A型汽车的进货单价为20万元,B型汽车的进货单价为16万元. (2)∵该店准备购进A,B两种型号的新能源汽车60辆,且购进a辆 A型车, ∴购进(60-a)辆B型车. ∵购进B型车的数量不少于A型车的2倍, ∴60-a≥2a.∴a≤20. ∵60辆车全部售完获利w万元, ∴w=(25-20)a+(20-16)(60-a)=a+240. ∵1>0,∴w随a的增大而增大. ∴当a=20时,w取得最大值,最大值=20+240=260,此时60-a=60- 20=40. 答:该经销商购进20辆A型车,40辆B型车时,才能使w最大,w最大为260万元. 1.(2022怀化)去年防汛期间,某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双),其中购买雨衣用了400元,购买雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元. (1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元. (2)为支持今年防汛工作,该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案为:若一次购买不超过5套,则每套打9折;若一次购买超过 5套,则前5套打9折,超过部分每套打 8折.设今年该部门购买了a套,购买费用为w元,请写出w关于a的函数关系式. (3)在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套? 解:(1)设每件雨衣x元,则每双雨鞋(x-5)元. 根据题意,得=,解得x=40, 经检验,x=40是所列方程的根,并符合题意. ∴x-5=35. 答:每件雨衣40元,每双雨鞋35元. (2)由题意知,一套雨衣雨鞋的单价为(40+35)×(1-20%)=60(元), 当购买a(a≤5)套雨衣和雨鞋时,费用为w=0.9×60a=54a; 当购买a(a>5)套雨衣和雨鞋时,费用为w=0.9×60×5+(a-5)× 60×0.8=48a+30, ∴w关于a的函数关系式为w= (3)由题意,得48a+30≤320,解得a≤6, 答:最多可购买6套. 2.(长沙中考)自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的 2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元. (1)分别求一件A,B型商品的进价; (2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型商品的件数,且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为 220元/件,且全部售出.设购进A型商品 m件,求该客商销售这批商品的利润v(单位:元)与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围; (3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润. 解:(1)设一件B型商品的进价为x元,则一件A型商品的进价为 (x+10)元. 由题意,得=×2, 解得x=150, 经检验,x=150是分式方程的解,且符合题意. x+10=150+10=160. 答:一件B型商品的进价为150元,一件A型商品的进价为160元. (2)∵客商购进A型商品m件, ∴客商购进B型商品(250-m)件. 由题意,得 v=(240-160)m+(220-150)(250-m) =10m+17 500, ∵80≤m≤250-m, ∴80≤m≤125. ∴利润v与m之间的函数关系式为 v=10m+17 500(80≤m≤125). (3)设利润为w元. 则w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17 500, ①当10-a>0时,即0<a<10时,w随m的增大而增大, ∴m=125时,最大利润为(18 750-125a)元. ②当10-a=0时,即a=10时,最大利润为17 500元. ③当10-a<0时,即