2024年九年级中考数学专题复习：新定义型问题与二次函数相关的问题

2024年九年级中考数学专题复习： 新定义型问题与二次函数相关的问题 一、单选题 1．定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 3．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 5．定义：在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有2个“零和点”，且都在第二象限，则二次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 函数（c为常数，）的图像与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N. 若，求b的值（    ） A． B．或1 C．3或 D．3 7．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（    ） A． B．   C．   D．   8．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“关联函数”，点与点则为一对“关联点”．已知函数和互为“关联函数”，则n不可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．定义，，则的最小值为 ． 10．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线与直线的“向心值”为 ． 11．对某一函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如函数，因此是有上界函数，其上确界是2．如果函数的上确界是5，则的值为 ． 12．定义一种新的运算“早”，运算规则如下：（1）当时，；（2）当时，．那么当时，的最大值是 ． 13．定义：二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为 ． 14．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数 是有上界函数，其上确界是2．如果函数 是以4为上确界的有上界函数，则实数 ．    三、解答题 15．已知二次函数满足，且． (1)定义新函数，其中，求函数值的取值范围； (2)是否存在这样的实数，当时，的最大值为且最小值为，若存在，求出所有的实数的值，若不存在，请说明理由． 16．定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．      (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 18．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； (2)如图②，已知