专题09 导数之极值点偏移（模拟+真题）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题9 导数之极值点偏移 1．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 2．（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 4．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上 (1)当顶点在轴上方时，求 以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值； (2)已知函数，关于的方程有两个不等实根. （i）求实数的取值范围; （ii）证明：. 5．（2023·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知． (1)当时，讨论函数的极值点个数； (2)若存在，，使，求证：． 7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，a为实数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明： 8．（2023·江西南昌·二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 9．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当时，若，求证： 10．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 11．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，证明：. 12．（2018·安徽合肥·三模）已知函数有两个极值点，. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 13．（2022·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 14．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，且，证明：． 15．（2022·天津·二模）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：． 17．（2022·安徽淮北·一模）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：. 18．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，恒成立． (1)求实数的取值范围； (2)若正实数、满足，证明：． 19．（21-22高三上·广东茂名·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)若，是两个正数，且，证明：. 20．（2022·浙江·模拟预测）已知函数. (1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：； (3)设函数的两个零点、，求证：. 21．（2021·安徽六安·一模）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上有两个极值点、． ①求实数的取值范围； ②求证：． 22．（2021·新疆阿勒泰·三模）已知函数 （1）若时，恒成立，求的取值范围； （2）求证且； （3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证 1．（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 导数之极值点偏移 1．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明.