专题09 导数之极值点偏移（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题9 导数之极值点偏移 【极值点偏移基本定义】 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： ①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 【极值点偏移几种常考类型】 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 【极值点偏移的解题方法】 1、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 2、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、极值点偏移处理方法： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、答题模板 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com] （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com] （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:Z。xx。k.Com] 例1．（2021·四川达州·二模）已知定义在上的函数． （1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围； （2）若，，，为的极小值，求证：． 例2．（20-21高三下·全国·阶段练习）已知函数，． （1）若在定义域内是减函数，求的最小值； （2）若有两个极值点分别是，，证明：． 例3．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：． 例4．（2017·山东淄博·一模）设. (1)令，求的单调区间； (2)当时，直线与的图像有两个交点，且，求证：. 例5．（2017·四川凉山·一模）设，函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若无零点，求实数的取值范围； （3）若有两个相异零点，求证：． 例6．（16-17高三下·安徽合肥·阶段练习）已知（为常数）. (1)求的极值； (2)设，记，已知为函数的两个零点，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 导数之极值点偏移 【极值点偏移基本定义】 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： ①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 【极值点偏移几种常考类型】 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令