9.1.1正弦定理（教学课件）高一数学人教B版必修第四册

9.1.1 正弦定理 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了与的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 借助这节课的知识来解决这个 问题吧. 1.了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（重点、难点） 探究点1：正弦定理 A B C b D 思考1：已知中，,,,求的面积. 因为 所以 解析 解析 A B C b D 思考2：一般地，在中，已知,与角，如何求的面积？ （1）若角为直角，, 所以 （2）若角为锐角， 所以 追问：角为钝角时，如何求的面积？ A B C a b D （2）若角为钝角， 所以 解析 三角形面积公式 思考3：若已知与角或与的值，则的面积是多少？你有什么发现？   文字语言 符号语言 例1 解析 ① ② ③ 因为 所以由正弦定理 已知两角及一边解三角形的一般步骤 （1）若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边. ① ② ③ (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边。 ① ② ③ AAS有且只有一解 跟踪训练1 解： 由正弦定理得 同理 例2 解析 B A C 由正弦定理得： ① 因为所以或 (1)当 时， (2)当时， 此时是等腰三角形，从而由等角对等边可知 c = = 2. 此时为直角三角形，且为斜边， 则= = = 4； 解析 例3 B A C ① 检验1 内角和定理 检验2 大边对大角 由正弦定理 ①时， ②时，,舍去 ,, 例4 解析 由正弦定理 不存在这样的三角形 已知两边及一边的对角解三角形的一般步骤 （1）可由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边. （2）SSA解的个数可能：一解；两解；无解.根据正弦值范围、大边对大角、内角和定理判断. 解析 如图，已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A,利用几何图形，判断何时无解，一解，两解？ A B C a b c A a a C B B? b a 探索 A 为 锐 角 图形 关系 解的个数 0 1 2 1 A 为 钝 角 或 直 角 图形 关系 解的个数 0 0 1 1 跟踪训练2 解:　（1）由正弦定理得= ，∴＝＝＝. 又＝，＝，∵，∴，故＝30°， ∴. 由正弦定理得＝， ∴＝＝＝2. ∴，，. 跟踪训练2 解：(2)由正弦定理，得＝＝＝. ∵∴或. 当时，，∴＝＝＝； 当时，，∴＝＝＝. ∴，，＝或，，＝. 探究点2：正弦定理的变形及应用 思考：观察 的形式，说说那么这个比值有什么特殊含义？ 其中 c 是 △ABC´ 与 Rt△ABC 的外接圆的直径. c O A B C a b B' (R为△ABC外接圆的半径). 所以对任意△ABC，均有 无论怎么移动 B'，都有 所以在△ABC'中 作出如图所示图像，由图可知： 正弦定理的变形 （1） ，，； （2），， ； （3） ，， 在△ABC中，已知 sin2A + sin2B = sin2C，求证：△ABC是直角三角形. 设 = k，则 k ≠ 0， 且 sin A = ，sin B = ，sin C = ； 例5 解析 又因为 sin2A + sin2B = sin2C， 所以 + = ，即 2 + b2 = c2； 因此由勾股定理的逆定理可知 ABC 是直角三角形. 在 △ABC 中，已知 ∠BAC 的角平分线 AD 与边 BC 相交于点 D， 求证： . 证明：如图，设∠ADB = α，∠BAD = β， 则由题意可知∠ADC = π – α，∠CAD = β. D A B C β β α π–α 例6 在 ABD 和 ADC 中，应用正弦定理， 可得 ， = ， 两式相除得 . 解：由 及正弦定理得 ∴sin2A=sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状. 跟踪训练3 正弦定理   定理应用 已知两角和一边，解三角形 已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题） 思想方法 特殊到一般、方程思想 数形结合、分类讨论 课 堂 小 结 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等 $$