2024年高考数学空间向量与立体几何达标训练

2024年高考数学空间向量与立体几何达标训练 一、单选题 1．中，，则将以为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，，点E是棱上任意一点（端点除外），则（    ）    A．不存在点E，使得 B．空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有1条 C．过点E与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条 D．过点E与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条 5．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）    A．14 B．21 C．24 D．36 6．正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论： ①棱长为； ②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°； ③表面积为； ④外接球的体积为． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 7．如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．在四面体中，，四面体的顶点均在球的表面上，则（ ） A．当二面角为时， B．球的半径为1 C．异面直线与可能垂直 D．与面所成角最大值为 10．对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（    ） A．底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体 B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥 D．该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥 11．四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（    ） A．不存在点M，使得 B．的最小值为 C．四棱锥的外接球表面积为5π D．点M到直线AB的距离的最小值为 三、填空题 12．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则 ． 13．四棱锥中，底面为矩形，，四条侧棱长度均相等.若平面平面，则该四棱锥的高为 ；二面角的余弦值为 . 14．祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积：缘幂势既同，则积不容异——这就是祖暅原理.用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在棱长为2的正方体中，是上一点，于点，，点绕旋转一周所得圆的面积为 （用表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 . 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形． (1)证明：． (2)若，求异面直线与所成角的余弦值． 16．如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点. (1)求证：平面； (2)判断与是否垂直，并说明理由； (3)求与平面所成角的正弦值. 17．如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． (1)求证：//平面； (2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 18．在四棱锥中，底面为平行四边形，平面      (1)证明：； (2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积． 19．如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】 由题意得所求几何体体积即两个同底圆锥的体积之和，通过解直角三角形知识得底面圆半径以及两圆锥的高的和，由此即可得解. 【详解】   过点作于点， 则将以