备战2024年中考数学一模高频考点微专题靶向培优-几何模型专题

备战2024年中考数学一模高频考点微专题靶向培优 全等、相似模型专题 题型一：倍长中线模型 1.有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图①所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N. 【观察猜想】 (1)线段DE与AM之间的数量关系是______，位置关系是________________； 【探究证明】 (2)将图①中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图②，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 2.问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图①，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：(1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是_________________________； (2)AD的取值范围是________； 方法运用： (3)如图②，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC； (4)如图③，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG. 题型二：截长补短模型 1.在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC. (1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF； (2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②.若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明． 2.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD(AD不与AC重合)，旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC. (1)如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是________； (2)如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD＋2CE＝AE； (3)当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值． 题型三：一线三等角模型 1.如图①，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF. (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)当DE∥AB时(如图②)，求AE的长； (3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由． 2.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E. (1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长； (2)规律探究： (Ⅰ)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0＜α＜45°)，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； (Ⅱ)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°＜α＜90°)，与线段BC相交于点H，请再探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； (3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC. 题型四：手拉手模型 1.阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上． 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程； 【拓展迁移】(2)如图②，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上． ①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由； ②若AE2＋AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积． 2.已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周． (1)如图①，连接BG、CF，求的值； (2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，试探究：MN与BE的关系，并说明理由； (3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积． 题型五：半角模型 1.如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M，N分别是边BC，CD上的动点，∠MAN＝60°，AM，AN分别交BD于点