2024年九年级中考数学几何模型复习----一线三等角

2024年中考数学几何模型复习----一线三等角 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“M形图”，以下称为“一线三等角”，主要是一线三直角，几乎是每年必考的压轴题一、 “一线三等角”的起源 DE绕A 点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置. 二、 “一线三等角”基本类型 1.同侧型(图2-1) 2.穿越型(图2-2) 三、 “一线三等角”的性质 1.一般情况下, 如图3-1, 由∠1=∠2=∠3, 易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图3-1,若 CE=ED, 则△AEC∽△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图3-2, 当∠1=∠2=∠3, 且D是BC中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式 如图3-3,当∠1=∠2且 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 这是内心的性质，反之未必是内心. 在图3-4(右图)中,如果延长BE与CF, 交于点 P,则点D是△PEF的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图3-5，以等腰三角形为例进行说明) 其实这个第4图，延长 DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解累，以为是一种新型的，同侧穿越型? 不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、 “一线三等角”的应用 1. “一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题. 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题. 2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线) 上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似 坐标系中，要讲究“线”的特殊性 如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角 当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。 上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握. 解题示范 例1 如图所示，一次函数y=-x+4与坐标轴分别交于A、B两点，点P 是线段AB上一个动点(不包括A、B两端点), C是线段OB上一点,∠OPC=45°,若△OPC 是等腰三角形,求点P的坐标. 例2 如图所示,四边形ABCD中,∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°, AE⊥BC于 E,. 则 CE= . 例 3 如图,四边形 ABCD中, .求BC的长. BC 这条线上有个 的特殊角，可以分别过A、D点构造同侧型一线三等角.如上图. 在坐标系中，主要考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的线上构造一线三等角，刚才这个还可以在水平线上构造，当然此题的正解我觉得还是母子相似，依据在有特殊角. 例4 如图,△ABC中,∠BAC=45°, AD⊥BC, BD=2, CD=3,求 AD的长. 一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好. 还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造 例5如图, 在△ABC中, 交 BC于点D, 若. 求 的面积. 当然也有一个 45°或135°，据此也可以构造不同的一线三等角 刘大师之一线三角感悟人生：一线构三角，恰似一家人，夫妻很相似，宝宝两相承！ 大练身手 1.如图, 中, 求BD的长. 2.如图,△ABC中,∠B=90° , ∠CAD=45° , AB=3, CD=5, 求 BD的长. 一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种 . 3.如图,在四边形ABCD中, ∠BAD=∠ACB=∠ACD=45° , AC=4, 求 的周长. 4.在直角三角形ABC, D为AC的中点,若△DEF为正三角形, 求 CF的长. 5.如图, 在 中, DA平分. 若 求 AD的长. 6.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°, D为AB上一点,连接CD, P为CD上一点,∠BPD=45°,若 CP=6, △ACD的面积为18, 则线段DB的长为 . 解: (利用一线三等角构造) 过点A 作 AE⊥CD