2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十二）二次函数中倍（半）角的存在性问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十二） 二次函数中倍（半）角的存在性问题 1、 题型解读 二次函数中角的2倍（一半）存在性问题作为压轴题目，利用了“分类讨论思想”，“方程思想”“三角函数”“等腰三角形性质”，要比单纯的几何证明角的2倍（一半）难度要大得多，因此近些年中考真题中2倍角的探究问题备受命题者青睐，现尝试性地总结一下2倍角存在性问题的通用解法，以供大家参考. 二、解题策略 1. 【基本概念】 2倍角相等问题在坐标系中可以由以下几种方式得到： （1） 等腰三角形两底角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2） 平行线的性质； （3） 相似三角形对应角相等； （4） 等角三角函数相等。 2.【基本题型】 利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，等腰三角形两底角相等，转化为等角问题。 3.【解题思路】 常寻找相等角，转化为角相等的问题 类型一、倍角问题 （1） 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。 （二）典例剖析 例1-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例1-2．二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)在对称轴上是否存在一个点M，使的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由． (3)连接，当时，求直线的表达式． 针对练习1 1．如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 2．如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式： (2)如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及此时四边形的面积： (3)如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、半角问题 （一）半角的构造方法 如图，已知，构造半角可以用下面两种方法： 方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。 方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。 （2） 典例剖析 例2-1．已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由． (2)当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 例2-2．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式以及直线的解析式； (2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； (3)E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 针对练习2 1．如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且． (1)试求抛物线的表达式； (2)过点P作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点P的坐标； (3)当点运动到使时，求出m的值． 2．如图1，已知抛物线顶点C的纵坐标是4，与x轴交于A、O两点，经过点A的直线经过，D为直线上一动点． (1)______；______； (2)连接，当线段与直线夹角为时，求点D的坐标． (3)如图2，连接，线段上是否存在点E，连接，当时，线段被x轴截得线段比为两部分