2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（七）二次函数中菱形的存在性问题（解析版）3

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（七） 二次函数中菱形的存在性问题 （2021年23题，） 1、 题型解读 二次函数中菱形的存在性问题属于开放探究题，考查学生的综合探究、几何直观和运算能力，在求解这类综合题时，结合“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度寻找解题策略。 二、解题策略 1.【基本概念】 菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形 2.【基本题型】 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动 3.【解题思路】 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点． 类型一、两定两动：坐标轴+平面 例1-1、如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上. (1)求抛物线的解析式； (2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 的周长； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 针对练习1 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交于点．、的长是不等式组的整数解，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式及的值； （2）轴上的点使和的值最小，则　　； （3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了 　　个单位； （4）点在在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 类型二、两定两动：对称轴+平面 例2-1．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，，，. （1）求抛物线的解析式； （2）点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M，N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 例2-2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由. 针对练习2 1．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求点A，B，C的坐标； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时点D的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、两定两动：斜线+抛物线 例3-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B. （1）求抛物线的解析式. （2）在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标. （3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标. 例3-2．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 与直线l 交