1.3.3 课时2 等比数列前n项和的性质及应用学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.3.3　课时2　等比数列前n项和的性质及应用 【学习目标】 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(逻辑推理、数学运算) 2.在具体的问题情境中,能发现数列的等比关系,并解决相应的问题.(逻辑推理、数学建模) 【自主预习】 预学忆思 1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系? 2.当等比数列{an}的公比q=-1时,若k是偶数,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列吗? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若等比数列{an}的公比为q,则{a2n}的公比为q2. (　　) (2)若等比数列{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q. (　　) 2.在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.140 B.120 C.210 D.520 3.若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k=　　　　.  【合作探究】 探究1：等比数列前n项和的函数特征 情境设置 　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. 问题:当q≠1时,从函数的角度分析Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么? 新知生成 　　若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),则数列{an}是等比数列. 新知运用 例1　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否为等比数列. 【方法总结】　(1)已知Sn,可通过an=求{an}的通项公式,注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则数列{an}是等比数列. 巩固训练 　　若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+,则r=　　　　.  探究2：等比数列连续n项和的性质 情境设置 　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. 问题1:你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n? 问题2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征?采用从特殊到一般的思想进行思考分析. 新知生成 1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+). 2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0,n∈N+),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成等比数列,且公比为　qn　.  新知运用 例2　设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=　　　　.  方法指导　根据等比数列前n项和的性质,利用等差中项的性质建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值. 【方法总结】处理与等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算. (2)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. 巩固训练 　　在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30=　　　　.  探究3：等比数列不连续n项和的性质 情境设置 　　问题:类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质? 新知生成 　　若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则 ①在其前2n项中,=q; ②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1), S奇=a1+qS偶. 新知运用 例3　若等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.  方法指导　根据奇、偶数项之和与奇、偶数项之比建立方程组,利用q=即可求得公比q的值. 【方法总结】若等比数列{an}共有2n项,则要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,则要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. 巩固训练 　　若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为　　　　,项数为　　　　.  【随堂检测】 1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和为(　　).