1.3.3 课时2 等比数列前n项和的性质和应用课件-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和的性质与应用，涵盖片段和性质、奇偶项和关系及Sₘ₊ₙ=Sₙ+qⁿSₘ等核心内容，通过回顾等差数列性质对比导入，以问题驱动搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过严谨证明（如推导片段和成等比数列及公比qⁿ）和实例应用（制糖厂产量、小球落地路程）培养推理能力与模型意识，结合例题变式和练习题巩固，助力学生提升逻辑思维与应用能力，教师可借助结构化内容高效教学。

1.3.3 课时2 等比数列前n项和的性质和应用 1.等差数列{an}的前n项和Sn的性质 性质1： “片段和”性质 等差数列中依次n项之和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成公差为n2d的等差数列 性质2： “奇偶项”性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n=n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd， (S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an， (S奇≠0). 2.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝_______________ Sn＝_______________ 基本量法（转化与化归） （方程思想）知三求二 问题1：已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，你能证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n 成等比数列，并求这个数列的公比吗？ 一、等比数列前n项和公式的性质 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成公差为n2d的等差数列 证明： 问题1：已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，你能证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并求这个数列的公比吗？ 性质 : 若等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则Sn, S2n－Sn, S3n－S2n ,… 成等比数列,其中公比为qn. 例如，数列： 2，－2，2，－2，2，－2，… 此时 S2=0，S4－S2=0，S6－S4=0，不能构成等比． 性质补充：（1）Sm＋n ＝Sm＋qmSn；（2）Sm＋n＝Sn＋qnSm. 原因：当q=-1且m是偶数时,Sm，S2m-Sm，S3m-S2m都等于0，不是等比数列. 例1 在等比数列 <m></m> 中,已知 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> . [解析] 解法一：设等比数列 <m></m> 的公比为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> , 由已知得 ② <m></m> ①得 <m></m> ,即 <m></m> ,③ 将③代入①得 <m></m> ， <m></m> . 你准备如何求解？说说你的思路. 解法二： <m></m> 为等比数列,且显然公比不等于 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 成等比数列， <m></m> ， <m></m> . 例1 在等比数列 <m></m> 中,已知 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> . 等比数列的前 n项和性质的证明与应用： （1）利用等比数列前 <m></m> 项和公式证明“片段和”性质，容易想却不容易算，利用等比数列的项的性质，通过整体代换法证明可以简化解题过程. （2）灵活利用等比数列的项的性质以及前 <m></m> 项和的性质解题，可以提升速度和准确度.注意等比数列的公比为1或-1时前 <m></m> 项和的性质判断，这是易错点. 问题2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ➱ ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ ➱ 例2.（1）已知等比数列共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项 之和少60，则数列 的所有项之和是( ) D A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 [解析] 由题知，又 ， 所以， 解得，， 故数列 的所有项之和是 . （2）已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之 和为10，则这个等比数列的项数为( ) A A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 [解析] 设等比数列的公比为，则 ， 又数列 的项数为奇数，且其奇数项之和为21，偶数项之和为10， 则， 故 . 例3 某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%， 那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万吨(参考数据:lg 1.6≈0.204，lg 1.1≈0.041，结果保留整数)? 解：设制糖厂第n年的产量为an万吨，由题意，{an}是一个等比数列，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1， 由于Sn＝30，∴＝30， 整理得1.1n＝1.6，两边取对数得nlg 1.1＝1g 1.6， 从而求得n＝≈≈4.98≈5， 答：约5年内可以使总产量达到30万吨. 二、等比数列前n项和公式的应用 这是一个怎样的 数列模型，实际是求什么呢？ 例4 一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处. (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米? (2)小球第几次落地时，经过的路程为可m? 解：(1)设小球从第n－1次落地到第n次落地时经过的路程为an m，如图所示， 则a1＝10，a2＝10××2，a3＝10××2，…， 而且当n≥2时，可得到递推关系an+1＝an ，a2＝， 这是一个首项为，公比为的等比数列， (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米? (2)小球第几次落地时，经过的路程为可m? 因此an＝a2·()n-2＝(n≥2)，且a1＝10， ∴小球第10次落地时，经过的路程为 S10＝a1＋a2＋…＋a10＝10＋＋…＋＝20－(m). (2)设小球第n次落地时，经过的路程为m， 由于Sn＝a1＋a2＋…＋a10＝10＋＋…＋＝20－(m). (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型，求解数学模型，还原实际问题. (3)注意找出问题是求什么(n，an，Sn). 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 2.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q.</m> 3.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1). 限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时, Sm，S2m-Sm，S3m-S2m都等于0，不是等比数列. 一、等比数列前n项和公式的性质 二、等比数列前n项和公式的应用 1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ） A.3 盏 B.7盏 C.9盏 D.11盏 A 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于( ) A.－9 B.－21 C.－25 D.－63 B 3.若在等比数列{an}中，有a1＋a4＋a7=4，a3＋a6＋a9=16， 则a2＋a5＋a8= ． ±8 解：记等比数列{an}的公比为q， 因为a3＋a6＋a9 = q2(a1＋a4＋a7)， 即16=4q2 ， 所以q=±2 ， 所以a2＋a5＋a8=q(a1＋a4＋a7) = ±8 ． 4.已知等比数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 成等差数列． （1） 求 <m></m> 的公比 <m></m> ； （2） 若 <m></m> ，求 <m></m> . [解析] （1）依题意有 <m></m> ， 由于 <m></m> ，故 <m></m> ，又 <m></m> ，从而 <m></m> . （2）由（1）及题意可得 <m></m> ，得 <m></m> ， 从而 <m></m> . ＝ ＝ $