1.2.3 课时1 等差数列的前n项和公式学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.2.3　课时1　等差数列的前n项和公式 【学习目标】 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算) 2.掌握等差数列前n项和的公式并会应用.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.阅读教材,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的?他抓住了问题的什么特征? 2.等差数列的前n项和公式是什么?它与什么量有关? 3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式共涉及几个量?如何求这些量? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差,可求S10. (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)已知等差数列的首项、末项a17,可求S17. (　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. (　　) 2.若在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn=(　　). A.n B.n(n+1) C.n(n-1) D. 3.已知在等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=(　　). A.10 B.12 C.20 D.24 4.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d=　　　　.  【合作探究】 探究1：等差数列的前n项和公式 情境设置 　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层,奢靡程度可见一斑. 　　问题1:上述情境的图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?你能快速地求出吗? 问题2:你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗? 新知生成 等差数列前n项和公式为Sn==na1+,其推导方法是倒序相加法. 新知运用 例1　在等差数列{an}中, (1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10; (2)已知a1=4,S8=172,求a8和d. 【方法总结】等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值: 等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般利用公式列出关于基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用. (2)结合等差数列的性质解题: 等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用. 巩固训练 已知在等差数列{an}中, (1)a1=1,a4=7,求S9; (2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d. 探究2：利用等差数列前n项和公式判断等差数列 情境设置 　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn. 问题:从函数的观点分析,Sn关于n的函数具有什么特点? 新知生成 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,则Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-. 新知运用 例2　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由. 【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n=1,则a1=S1,求得a1. (2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1. (3)验证a1与an的关系: ①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1; ②若a1不适合an,则an= 巩固训练 1.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是　　　　.  2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列. 探究3：求数列{|an|}的前n项和 情境设置 　　问题:若an=16-3n,如何求数列{|an|}的前40项的和S40? 新知生成 根据通项公式判断数列{an}是先正后负,还是先负后正,在正、负分界点处分为两段,分别去掉绝对值符号,转化为等差数列的求和问题. 新知运用 例3　若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. 【方法总结】已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤: (1)确定{an}的通项公式; (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负; (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,再利用数列{an}的前n项和公式求解; (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式. 巩固训练 　　已知等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前