江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

2023-2024（下）江西省宜丰中学高二3月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．在空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A． B． C． D．与斜交 3．空间向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．10 6．在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ） A． B． C． D． 7．材料中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为2 B．双曲线C的离心率为 C．双曲线与双曲线C的渐近线相同 D．若，则的面积为 11．已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ） A．无论M，N在何位置，为异面直线 B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP与平面所成角的正弦最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12．已知向量，且与互相平行，则k= ． 13．已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 . 14．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率． （1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时， ； （2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．   (1)求证：平面； (2)若，，求与平面所成角的余弦值． 16．（1）已知向量，求； （2）求与向量共线，且满足的向量的坐标； （3）已知若，且与垂直，求. 17．已知圆C的方程为：，直线l的方程为：， (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)证明：直线l与圆C相交，设直线l与圆C相交于A、B，求弦长的最小值，及此时直线l的方程； (3)圆C的圆心C与A、B构成三角形，求三角形ABC面积的最大值． 18.如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)求到平面距离； (3)求直线与平面夹角余弦值. 19．已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 2023-2024（下）江西省宜丰中学高二3月月考数学参考答案 1．D 2．B 3．A 4．D 5．B【详解】如图所示，设抛物线的焦点为，圆心为，则，，所以，则当三点共线是