2024年中考数学二轮复习：二次函数与几何模型专题讲解

2024年中考数学复习二次函数与几何模型专题讲解 问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A(-3, 0), B(1, 0)两点, 与y轴交于点C(0, 3). 一、线段和差问题： (1) 点 M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作 MN∥y轴交直线AC于点N，当点M 的坐标为多少时，线段 MN有最大值，并求出其最大值： 思路点拔：设/ 则N(m, m+3)且-3<m<0 ∵-1<0, ∴开口向下 ∴当 时，MN的最大值 此时 (2) 点M 为直线AC上方抛物线上一动点，过 M点作MN∥y轴交直线AC 于点 N，作 于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值，并求出其最大值： 变式：△MEN的面积有最大值，并求出其最大值. 思路点拔： 易证△MEN∽△AOC, ∴△MEN为等腰直角三角形， ∴当MN取最大值时, CAMEN最大 由(1) 得当 时，MN的最大值 ∴C△MENE的最大值为： (3)如图, 直线y=kx(k<0) 与该抛物线在第二象限的交点为M, 与AC交于点E, 求 的最大值；(斜线段转横平竖直线段) 思路点拔：作 轴交AC于 N, 则 ∴当MN取最大值时， 最大， 由(1) 得当 时, MN 的最大值为: 的最大值为： 变式：如图，直线y=kx(k<0)与该抛物线在第二象限的交点为M，与AC交于点E，求 时点直线 y=kx的解析式. 二、面积问题： (4) 点M 是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点 M，使 的面积最大? 若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由；(铅垂法) 思路点拔: 作MN//y轴交AC于 N, 则: ∴开口向下 ∴当 时,S△ACM的最大值为： 此时 方法②: (切线法) 作直线AC的平行线l，设其解析式为y=x+b，当直线l与抛物线有唯一公共点时△ACM 的面积最大，其M的位置就是其唯一公共点. 由 得, ∴x²+3x+b-3=0 Δ=9-4(b-3) 由△=0得 将 代入. 解得 所以此时 (弊端：计算量较大，如果需要求面积最大值还要进行转化，因为ME这条垂线段的长度不太好求.) 变式：点M 是直线AC上方的抛物线上一动点，使△ACM 的面积为整数的点M有几个，并说明理由；(建议结合问题(6) 中的平行转化面积的方法进行解答) (5) 点M 是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点M，使 若存在，求出点M的坐标； 若不存在，说明理由；(铅垂法) 思路点拔： 作 MN∥y轴交AC于 N, 则: 解得： (6) 点P 是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在异于 P 点的点 Q，使 若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，说明理由；(转化法) 思路点拔: 易求 P(-1, 4) 方法①：求出△PAC的面积为3，所以可以利用问题(4)和问题(5)中的铅垂法 求出Q点的坐标. (注意：分点Q在AC 上方和点Q在AC下方两种情况.) 方法②：平行线转化法 ① 过 P 点作AC的平行线l₁交抛物线于点 Q，则 此时直线PQ的解析式: y=x+5由 求出两组解，其中一组对应P点坐标，应舍去，另一组解即为Q₁点的坐标. ② 当Q在AC下方时,由平移可知: 直线l₂为y=x+1解 可得 Q₂、Q₃的坐标. (7) 点 M是抛物线上一动点，是否存在点M，使 若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由：(转化法或铅垂法) 思路点拔： 方法①：易求出. 的面积为 由 得 所以可以利用问题(4) 和问题(5)中的铅垂法求出 时M点的坐标. (注意：分点 M在AC 上方和点 M在AC下方两种情况.) 方法②：平行线转化法 由 得: ∴可在x轴上取点Q(-1, 0) 或(-5, 0), 则 ∴只须在抛物线上找到点M，使 即可， ∴可以利用问题(6) 中的平行线法求解，可以过Q作AC的平行线，求出与抛物线的交点坐标即可. (8) 抛物线上是否存在点 P，使 若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由；(同侧作平行，异侧过中点) 思路点拔： ① 当点A 与点C在直线OP的同侧时，可以过O作直线l₁平行于AC，直线l₁与抛物线的交点即为所求的P₁和P₂. 易求直线l₁的解析式为y=x， 由 求出两组解即为P₁和P₂的坐标 ② 当点A与点C在直线OP的异侧时，OP一定过AC的中点M，易得直线OM 的解析式为y=-x 由 求出两组解即为P₃和P₄的坐标 变式： 如图，已知点 H(1，0)，在抛物线上是否存在点 G，使得 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 三、特殊三角形问题： (9) 点P为直线AC上方的抛物线上一动点，过P