第20讲 统计与成对数据的分析（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第20讲　统计与成对数据的分析（3大考点+强化训练） [考情分析]　高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度． 知识导图 考点分类讲解 考点一：统计图表、数字特征 1．频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×. 2．在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数． (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 易错提醒　(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义． (2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为是频率． 【例1】（2024·陕西西安·二模）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ） A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时 D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等 【变式1】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（    ） A．140 B．240 C．280 D．320 【变式2】（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）为了积极推进国家乡村振兴战略，某示范村不断自主创新，拓宽村民增收渠道，近年来取得了显著成效．据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍，为了更好地了解该村经济收入变化情况，统计了该村两年的经济收入构成比例，得到如图所示的条形图和饼图．则以下说法错误的是（    ） A．2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多 B．2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多 C．2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的 D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多 【变式3】（2024·甘肃·一模）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（    ）    A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 考点二：回归分析 求经验回归方程的步骤 (1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略)． (2)计算出，，，. (3)写出经验回归方程． 易错提醒　(1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(，)一定在经验回归直线上． (2)求时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆． (3)利用样本相关系数判断相关性强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小． (4)区分样本相关系数r与决定系数R2. (5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值． 【例2】（22-23高三下·浙江杭州·阶段练习）某公司在x年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为，则当关于a，b的表达式取到最小值时，（    ） x 2017 2018 2019 2020 2021 2022 A．5 B．13 C．8059 D．8077 【变式1】（2023·上海奉贤·三模）已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 【变式2】（2024·河北·一模）集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高三上·四