第19讲 随机变量及其分布（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第19讲　随机变量及其分布（3大考点+强化训练） [考情分析]　离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度． 知识导图 考点分类讲解 考点一：分布列的性质及应用 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn. (4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn. (5)若Y＝aX＋b， 则E(Y)＝aE(X)＋b， D(Y)＝a2D(X)． 规律方法　分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． 【例1】（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 m 则 ． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）设X是一个离散型随机变量，其分布列为： X 0 2 4 P 则 ． 考点二：随机变量的分布列 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·. 规律方法　求随机变量X的均值与方差的方法及步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列； (3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)； (4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解． 考向1　相互独立事件 【例2】（2024·云南·模拟预测）小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件：“两人至少有一人选择篮球”，事件：“两人选择的兴趣班不同”，则概率（    ） A． B． C． D． 【变式】(2023·济南模拟)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛． (1)下表为某10位同学预赛成绩： 得分 93 94 95 96 97 98 人数 2 2 3 1 1 1 求该10位同学预赛成绩的第75百分位数和平均数； (2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为，，，，，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和均值． 考向2　超几何分布 【例3】（23-24高三上·广东深圳·期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】　(2023·安阳模拟)不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施．为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4