2024年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形存在性问题

2024年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C.顶点为点D.在线段下方的抛物线上有一动点P. (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，抛物线：与x轴相交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴相交于点C，连接 (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)点p为抛物线上一动点，设点Р的横坐标为m，过点Р作与x轴相交于点E，当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出m的值； (3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，直线l：交于点N和点M，交x轴、y轴分别于点E、点F，若，求直线l经过的定点T的坐标． 3．综合与探究： 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是对称轴右侧第一象限内抛物线上一点． (1)求出点A，B，C的坐标； (2)当时，求出点D的坐标； (3)在满足（2）的条件下，如图2，过点C作，交直线于点E，连接．则四边形是否为平行四边形？请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求该二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，在轴上有一点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请直接写出点的坐标： ． (3)点坐标为，抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点坐标，若不存在，说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，作直线，点P是抛物线在第四象限上的一个动点（点P不与点B，C重合），连接，以为边作平行四边形，点P的横坐标为m． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当平行四边形有两个顶点在x轴上时，求点P的坐标； (3)当平行四边形是菱形时，求m的值． (4)当m为何值时，平行四边形的面积有最大值？ 6．如图，抛物线（）与轴交于、两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线的顶点为与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过顶点作轴于，交直线于，点，分别在抛物线和轴上，若点Q坐标为，且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)将抛物线向右平移一个单位得抛物线，直线与轴交于点，与抛物线交于，两个不同点；分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，当的值在取值范围内发生变化时，式子的值是否发生变化？若不变，请求其值． 8．如图，已知二次函数的图像交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点，点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标． (3)以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的D点坐标． 10．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 11．如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，最大值为多少，并求出此时P点的坐标； (3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 12