精品解析：湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线左焦点为，虚轴的上、下端点分别为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知函数的部分图像如图所示，，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ） 参考数据：. A. B. C. D. 8. 已知三棱锥中，，三棱锥体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正四棱柱中，是棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知圆直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ） A. 圆上恰有一个点到的距离为 B. 直线恒过点 C. 的最小值是 D. 四边形面积的最小值为 11. 已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则______． 14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58． （1）计算样本平均数和样本方差； （2）若这次征文比赛作品得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据：． 17. 如图（1）所示，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，为边的中点，将沿折成直二面角，得到如图（2）所示的四棱锥． （1）若为棱的中点，证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8． （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值． 19. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 （1）求； （2）若正整数互质，证明：； （3）若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非