4.5 课时2 几种简单几何体的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.5 几种简单几何体的表面积和体积 1 课时2 几种简单几何体的体积 2 #b# 1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究，掌握柱体、锥体、台体、球的体积的求法. （直观想象、数学运算） #b# 2.会求柱体、锥体、台体、球的体积.（直观想象、数学运算） 学习目标 3 1.什么是锥体的高？ [答案] 把锥体（棱锥、圆锥）的顶点到底面的距离称为锥体的高. 2.什么是台体或柱体的高？ [答案] 台体或柱体两底面之间的距离称为台体或柱体的高. 3.柱体、锥体的体积分别是什么？ [答案] 柱体、锥体的体积分别是，（是底面积， 是高） 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）棱锥的体积等于底面面积与高之积.( ) × （2）棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) √ （3）若两个柱体的体积相等，则表面积相等.( ) × （4）柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关.( ) √ 2.若长方体的长、宽、高分别为，， ，则长方体的体积为( ) . B A. B. C. D. [解析] . 自主预习 5 3.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( ) . B A.2 B.4 C.6 D.12 [解析] 正四棱锥的底面积为，则其体积为 . 自主预习 6 探究1 柱体的体积 现有一张边长为 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分， 然后按虚线处折成底面边长为 的无盖包装盒. 问题1： 该无盖包装盒是哪种几何体？ [答案] 正六棱柱. 合作探究 7 问题2： 该包装盒的体积是多少？ [答案] 如图，正六边形的每个内角为 ， 按虚线处折成底面边长为的正六棱柱，即 ， 所以， ，即正六棱 柱的高为 ， 所以正六棱柱的体积 . 合作探究 8 新知生成 棱柱的体积：（为棱柱的底面积， 为棱柱的高）. 圆柱：（是圆柱的底面半径， 是圆柱的母线长）. 合作探究 9 新知运用 例1 如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的边长为 ，侧棱 ，若侧面水平放置时（如图2），水面恰好过，， ， 的中点. 图1 图2 合作探究 10 （1）求容器中水的体积； （2）当容器底面 水平放置时（如图1），求容器内水面的高度. 方法指导（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；（2）设图1中水的高度为 ，根据水的体积相等得到方程，求解即可. 合作探究 11 [解析] （1）在图2中，水所占部分为四棱柱，该四棱柱的底面积 ，又高为 ， 所以水的体积 . （2）设图1中水的高度为，则，解得 . 所以当容器底面水平放置时，容器内水面的高度为 . 合作探究 12 &1& 常见的求柱体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解. （2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 合作探究 13 若在长方体中，， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为( ) . C A.8 B. C. D. [解析] 因为 平面，所以为 与平面 所成的角，即 ，由可得 ， 从m> . < 所以该长方体的体积 . 合作探究 14 探究2 锥体的体积 对24小时内降水在平地上的积水厚度（单位： ）进行如下定义： 小雨 中雨 大雨 暴雨 合作探究 15 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水. 合作探究 16 问题1： 接水的容器是哪种几何体？ [答案] 是圆锥. 问题2： 如何计算容器内水的体积？ [答案] 容器内的水是圆锥形状，利用圆锥的体积公式 计算即可. 问题3： 这一天的雨水属于哪个等级？ [答案] 由题可知，设圆锥形容器中积水的水面半径为，所以，解得 ， 所以积水厚度为 ，因此这一天的雨水属于中雨. 合作探究 17 新知生成 1.棱锥：（为棱锥的底面积， 为棱锥的高）. 2.圆锥：（是圆锥的底面半径， 为圆锥的高）. 合作探究 18 新知运用 例2 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点， 平面，为的中点，点在上， . （1）证明：平面 . （2）若， ，求三棱锥 的体积. 方法指导（1）设交于点，根据平行线分线段成比例可得 ，即可根据 得到 ，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）由等积法可知 ，即可解出. 合作探究 19 [解析] （1）设交于点，连接 . 因为是的中点，，，所以 ， 所以，即 . 又因为，所以，所以 ， 又因为 平面， 平面，所以平面 . 合作探究 20 （2）在菱形中，因为， ，所以 是边长为2的等边三 角形，故 . 又因为 ， 平面，，所以，故点到平面 的 距离为 ， 所以，