4.5.2 几种简单几何体的体积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦棱柱、棱锥、棱台等几何体的体积公式及关系，从已学表面积知识过渡，通过公式退化关系（棱台到棱柱、棱锥）构建知识支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于融合公式推导、方法总结（补体、分割、等体积法）与典例分析，通过球的切接、翻折问题等实例，发展直观想象和逻辑推理素养。采用一题多解（如分割与补体法解多面体体积），学生能掌握解题策略，教师可提升教学效率，助力学生提升空间问题解决能力。

　棱柱、棱锥、棱台的体积 知识点 1 4.5　几种简单几何体的表面积和体积 4.5.2　几种简单几何体的体积 必备知识 清单破 棱柱 V棱柱=Sh,其中S为棱柱的底面 积,h为棱柱的高 此公式也适用于计算圆柱的体积:V圆柱=Sh(其中S为圆柱的底面积,h为圆柱的高) 棱锥 V棱锥= Sh,其中S为棱锥的底 面积,h为棱锥的高 此公式也适用于计算圆锥的体积:V圆锥= Sh (其中S为圆锥的底面积,h为圆锥的高) 棱台 V棱台= (S+ +S')h,其中S', S分别为棱台的上底、下底 面积,h为棱台的高 此公式也适用于计算圆台的体积:V圆台= (S+ +S')h(其中S',S分别为圆台的上底、下底面积,h为圆台的高) 第4章　立体几何初步 高中同步 　棱柱、棱锥、棱台的体积计算公式之间的关系   知识点 2 第4章　立体几何初步 高中同步 　球的体积 设球的半径为R,它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数,其计算公式为V球= πR3. 知识点 3 第4章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.底面积相等且高相等的两个柱体或两个锥体的体积一定相等吗? 2.棱柱的体积可以用底面积与侧棱长的乘积表示吗? 3.台体的体积只能用公式计算吗? 4.若两个柱体的体积相等,则它们的表面积一定相等吗? 5.球的体积的数值与其表面积的数值有怎样的数量关系? 第4章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.一定. 2.当棱柱是直棱柱时可以;当棱柱是斜棱柱时不可以,可用垂直于侧棱的截面面积乘侧棱长来 求解. 3.不是.台体的体积也可以利用两个锥体的体积之差来计算. 4.不一定.柱体的体积和表面积之间没有必然的联系. 5.球的体积V= πR3,表面积S=4πR2, = = ,其中R为球的半径. 第4章　立体几何初步 高中同步 　计算空间几何体的体积  求几何体体积的常用方法 关键能力 定点破 定点 1 1.公式法:直接代入公式求解. 2.等体积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即 可. 第4章　立体几何初步 高中同步 3.补体法:将几何体补成易求得体积的几何体,再利用两几何体之间的体积关系求解. 　　常见的补体有: ①可将正四面体补为正方体,如图所示. 第4章　立体几何初步 高中同步   ③可将三棱柱补成平行六面体,如图所示.   ②可将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示(PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥ PC). 第4章　立体几何初步 高中同步 ④可将台体补成锥体,如图所示.   4.分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积,再相加. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任 意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.   第4章　立体几何初步 高中同步 解析    连接EB,EC,则该多面体由四棱锥E-ABCD和三棱锥F-EBC组成(分割法). 易得VE-ABCD= ×42×3=16. ∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△ABE=2S△BEF, ∴VF-EBC=VC-BEF(等体积法) = VC-ABE= VE-ABC(等体积法) = × VE-ABCD=4. 故多面体ABCDEF的体积为VE-ABCD+VF-EBC=16+4=20. 第4章　立体几何初步 高中同步 一题多解 　　①(分割法)设AB,CD的中点分别为M,N,连接MN,EM,EN,则多面体ABCDEF的体积为VE- AMND+VEMN-FBC= ×8×3+ ×4×3×2=20. ②(补体法)延长EF到G,使EG=AB,连接BG,CG,则VBCG-ADE= ×4×3×4=24,设多面体ABCDEF的 体积为V,则V=24-VF-BCG=24-VE-ADF=24-(V-VF-ABCD)=24-V+16,故V=20. 第4章　立体几何初步 高中同步 　与球切、接有关的体积问题  　　球与其他几何体经常通过内切、外接等方式构成组合体,主要有球与柱体、锥体、台体 的组合,即球内切于柱体、锥体、台体或球外接于柱体、锥体、台体.作出适当的轴截面,利 用轴截面探究基本量之间的关系是解题的要点. 定点 2 第4章　立体几何初步 高中同步 典例1    (多选)某艺术比赛提倡能力均衡发展,特别将水晶奖杯设计成具有对称美的形状.其 形状如图所示,将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均 为a的空间几何体,则下列说法正确的是 (　    ) A.该几何体的体积为 a3 B.该几何体的外接球的体积为 πa3 C.该几何体的表面积为9 a2 D.该几何体中,二面角A-BC-D的余弦值为  AB 第4章　立体几何初步 高中同步 思路点拨    将几何体补成棱长为3a的正四面体.应用棱锥的体积和表面积的求法求几何体的 体积和表面积;由几何法求几何体外接球的半径,进而求外接球的体积;根据正四面体的性质 判断二面角A-BC-D与棱锥侧面夹角的关系,通过求棱锥侧面夹角的余弦值求得二面角的余 弦值. 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    将几何体补成棱长为3a的正四面体,如图所示:   该几何体的体积V=VM-PQN-4VM-ABC= × a× ×9a2× -4× × a× ×a2× = a3,故A正 确; 若O',O″分别是平面ABC,平面PQN的中心, 由题设易知O'O″= a- a= a, 第4章　立体几何初步 高中同步 若几何体外接球的半径为r, 则 + =O'O″, 即 + = a, 所以r2= a2,所以r3= a3, 则该几何体的外接球的体积为 πr3= πa3,故B正确; 该几何体的表面积S=4(S正六边形BCGHFD+S△ABC)=4× =7 a2,故C错误; 由正四面体的性质及图可知, 二面角A-BC-D为正四面体相邻两个面夹角的补角,而正四面体相邻两个面夹角的余弦值为  , 则二面角A-BC-D的余弦值为- ,故D错误. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例2　如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在过球心O的平面截球面所得的圆 上,点P在球面上,若VP-ABCD= ,则球O的体积是　　　    .      π 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    设球O的半径为R. 连接PO,则PO为正四棱锥P-ABCD的高,PO=R.   易知四边形ABCD为正方形,且AB= R. 所以正方形ABCD的面积为( R)2=2R2, 由VP-ABCD= ,得 ×2R2×R= , 解得R=2, 所以球O的体积是 π×23= π. 第4章　立体几何初步 高中同步 　在折叠问题中探究空间的垂直与平行以及角与距离等问题,发展直观想象和逻辑推理 的核心素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 把一个平面图形按要求折起,转化为空间图形,通过分析平面图形和立体图形中的“变”与 “不变”,研究图形在位置和数量上的关系,考查了学生的转化思想和空间想象能力,从而发 展直观想象的核心素养. 翻折问题常与空间中的平行、垂直以及空间角、距离等问题相结合,在解决问题的过程中, 发展了学生的逻辑推理和数学运算等核心素养. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例呈现 例题　如图①,已知等边△ABC的边长为3,M,N分别是边AB,AC上的点,且BM=2MA,AN=2NC. 将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置,连接MC,如图②. (1)求证:平面A'BM⊥平面BCNM; (2)给出三个条件:①A'M⊥BC;②二面角A'-MN-C的大小为60°;③A'到平面BCNM的距离为 . 从中任选一个,补充在下面问题的条件中,并作答: 在线段A'C上是否存在一点P,使三棱锥A'-PMB的体积为 ?若存在,求出 的值;若不存在, 请说明理由. 第4章　立体几何初步 高中同步 解题思路    (1)证明:由已知得AM=1,AN=2,A=60°. 在△AMN中,由余弦定理, 得MN= = , ∴MN2+AM2=AN2, ∴MN⊥AB, ∴MN⊥A'M,MN⊥BM, 又∵BM∩A'M=M,BM,A'M⊂平面A'BM, ∴MN⊥平面A'BM. ∵MN⊂平面BCNM, ∴平面A'BM⊥平面BCNM. (2)若选条件①: 第4章　立体几何初步 高中同步 由(1)得A'M⊥MN, 又∵A'M⊥BC,且BC和MN是两条相交直线,BC,MN⊂平面BCNM, ∴A'M⊥平面BCNM, 又易得等边△ABC的高为 ,S△A'BM= ·A'M·BM= ×1×2=1, ∴VA'-BCM=VC-A'BM= S△A'BM× = , ∵ > , ∴在线段A'C上存在点P满足题目条件, 此时 = = = . 第4章　立体几何初步 高中同步 若选条件②: 由(1)易知∠A'MB是二面角A'-MN-C的平面角, ∴∠A'MB=60°, ∴S△A'BM= ·A'M·BM·sin 60°= ×1×2× = , 又易得等边△ABC的高为 , ∴VA'-BCM=VC-A'BM= ×S△A'BM× = , ∴在线段A'C上存在点P满足题目条件, 此时点P与点C重合,故 =1. 若选条件③: 第4章　立体几何初步 高中同步 由题可得,等边△ABC的高为 , 则S△BCM= ×BM× = ×2× = , 则VA'-BCM= ×S△BCM× = × × = , ∵ < , ∴在线段A'C上不存在满足题目条件的点P. 第4章　立体几何初步 高中同步 思维升华 1.立体几何问题的证明绝大多数是考查线线、线面、面面的平行与垂直问题,而面面或线面 的平行与垂直问题,可以转化为线线的平行与垂直问题,解决这类问题,要重点分析题目条件, 再根据图形进行论证,这不仅考查了学生的逻辑思维能力,也对学生的直观想象素养提出了 较高的要求. 2.解立体几何中的“翻折”问题时,要注意两个方面:一是画好两个图——翻折前的平面图和 翻折后的立体图;二是分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化, 哪些没有改变. 第4章　立体几何初步 高中同步 $