4.5.2 第2课时 球的表面积和体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦球的表面积和体积，核心内容包括球的截面性质、表面积与体积公式及与球有关的组合体计算。通过习题讲评式教学，承接球的基本概念，以“空间向平面转化”为学习支架，结合实例（如两平行截面距离问题）构建知识脉络。 其亮点在于“思维建模”培养数学思维，如用补形法、定义法解决组合体问题，例2通过正方体切接球的三种情况，发展几何直观与空间观念。题型分类清晰，跟踪检测覆盖多维度，帮助学生提升运算与推理能力，教师可直接用于习题课，提高教学效率。

球的表面积和体积 (教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.理解球的大、小圆，直线与球相切的意义，掌握球截面的性质，并能简单应用. 2.掌握球的表面积与体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　球的截面 题型(二)　与球有关的简单组合体 课时跟踪检测 题型(一)　球的截面 01 多维理解 1.球的截面形状 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆; (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. 2.球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面. (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式： d=. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有OC2=O'C2+OO'2，即R2=r2+d2. [例1]　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面积. 解：(1)若两截面位于球心的同侧. 如图1所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两 平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分 别为r cm，r1cm. 由π=49π，得r1=7(r1=-7舍去)， 由πr2=400π，得r=20(r=-20舍去). 在Rt△OB1C1中，OC1==， 在Rt△OBC中，OC==. 由题意可知OC1-OC=9， 即-=9， 解得R=25.S球=4πR2=2 500π(cm2). (2)若球心在截面之间， 如图2所示，OC1=， OC=. 由题意可知OC1+OC=9， 即+=9. 整理，得=-15，此方程无解，这说明第二种情况不存在. |思|维|建|模| 空间向平面的转化 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题. (2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r=. 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径. 针对训练 1.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工 艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个 棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与 正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为2π， 则该球的表面积为 (　　) A.20π B.16π C.12 D.8 √ 解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即为2，根据截面圆的周长为2π可得2π=2πr，解得r=1，由题意知R2=12+22=5，∴该球的表面积为4πR2=20π.故选A. 题型(二)　与球有关的 简单组合体 02 题点1　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. [例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解：设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方 形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面， 如图(1)所示. 所以2r1=a，r1=，S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2). 所以2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示. 则2r3=a，∴r3=a，S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 题点2　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a，内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 √ 解析：如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心， 连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交 BC于D点，连接AO2. ∵AD=a，AO=AD=a，OO2=，∴A=a2+a2=a2， 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 题点3　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 √ 解析：如图，BE=BO2=r，AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB， ∴OE2=AE·BE=Rr， ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_____.  解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r. 所以==. |思|维|建|模| 求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解; (2)利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径; (3)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可. 针对训练 2.棱长为4的正方体的内切球的表面积为 (　　) A.4π B.12π C.16π D.20π √ 解析：设内切球的半径为r，由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，得2r=4，r=2，故内切球的表面积为S=4πr2=16π. 3.已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是______.  64π 解析：如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O. ∵在正三棱锥S-ABC中，底面边长为6， 侧棱长为4，∴BE=××6=2. ∴SE==6. ∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R， ∴OB=R，OE=6-R. 在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2， 即R2=12+(6-R)2，解得R=4. ∴外接球的表面积为S=4πR2=64π. 课时跟踪检测 04 1.如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 √ 解析：设两球的半径分别为r，3r，则表面积之比为=. 2.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 (　　) A.8π B. C. D. √ 解析：作轴截面如图所示，则OO1=1.设截面圆的半径为r，球的半径为R.由已知可得πr2=π，所以r=1，R=.故S球=4πR2=8π. 3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 (　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 √ 解析：设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的体积V大=×(3x)3=36πx3，另两球的体积之和V和=x3+×(2x)3=12πx3，所以V大=3V和. 4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.8π B.12π C.16π D.π √ 解析：因为正方体的体积为8，则其棱长为2，体对角线长为2，因此其外接球直径为2，半径为，所以其外接球的表面积为4π×()2 =12π. 5.如图，所有棱长都等于2的三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为(　　) A.27π B.π C.28π D.π √ 解析：如图，三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心，点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心)，C1O1=A1B1=×2=2， C1O==， 所以球O的体积V=πr3=π×()3=π.故选D. 6.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 √ √ 解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2，故A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2，故B错误;球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为4πR2，故C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3， V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3，∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2，故D正确. 7.(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　) A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 √ √ 解析：设球的半径为R，由已知可得ABC外接圆半径为r==，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴R2-R2=，得R2=.球O的表面积为4π×=6π，故A正确; 设球O的内接正方体的棱长为a，∵正方体的体对角线即球O的直径，∴a=2R，解得a=，故B错误; 设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b=2R=，故C错误; 设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为=c，由+=，解得c=2，故D正确. 8.（5分）半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为， 则这个半球的体积为　　　.  18π 解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC'=，OC=×=. 连接OC'，在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2+OC2=OC'2， 即()2+()2=R2，所以R=3. 故V半球=×πR3=18π. 9.（5分）若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为　　.  3π 解析：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC，所以VA=AB=BC=1，VB=AC=， 其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R=. 所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π. 11.（5分）(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　个公共点.  12 解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直 径的球的球心即正方体的中心，球的半径为.而正方 体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径 的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点. 12.（5分）已知Rt△ABC的斜边AC=2，∠ACB=，现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置，使∠CBD=，则所得四面体A-BCD外接球的表面积为　　.  5π 解析：如图，取CD的中点M，连接BM， ∠ACB=∠ADB=，∠CBD=，AC=AD=2， AB=2sin=，BC=BD=2cos=1，CD=， 所以△BCD是等腰直角三角形，则斜边CD的中点M为△BCD外接圆的圆心. 因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线，过AB的中点N作BM的平行线， 两直线的交点为O，点O即为四面体A-BCD外接球的球心. 连接OB，因为BM=CD=，OM=NB=AB=，所以四面体A-BCD外接球的半径R=OB===， 故所求外接球的表面积为S=4πR2=5π. 13.(10分)如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个 圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少?（4分） 解：因为半球的直径是6 cm，所以半径R=3 cm. 所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3). 又V圆柱=πR2×2=18π(cm3)，所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3). (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克?（6分） 解：根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2)， 又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2). 所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2) =12π(m2).所以共需胶100×12π=1 200π(克). 14.(15分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，求R的取值范围. 解：设圆柱的高为h，酒杯的容积为V，则S=2πR2+2πRh，所以πRh=-πR2. 所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3， 解得R≥. 又h>0，所以-πR2>0，解得R<. 所以 ≤R< ， 即R的取值范围为. 15.(15分)如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上)，AB=AC，棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形. (1)求挖掉的直三棱柱的体积;（5分） 解：记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE， 由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径， 又BB1C1C是一个长为4的正方形，因此OE=AE=2，球半径为R=AO==2， 挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16. (2)求剩余几何体的表面积.（10分） 解：由(1)知AC==2= =2×4=8，S△ABC=×4×2=4，=16， S半球=2π×(2)2+π×(2)2=24π， 所以剩余几何体表面积为S=S半球-+++ 2S△ABC=24π-16+2×8+2×4=24π+16-8. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 10．(5分)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm. 解析：作出轴截面如图，当两圆相切时半径最大， 两圆的公切点为圆柱形的中心，设铁球半径为r，r∈(0,4)， 在Rt△ABO1中，AO1＝4－r，AB＝－r， 则有：(4－r)2＋2＝r2， 解得r＝或r＝(舍去)． $