4.3 课时5 直线与平面垂直的性质 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 1 课时5 直线与平面垂直的性质 2 #b# 1.掌握线面垂直的性质定理.（逻辑推理、直观想象） #b# 2.理解点到面、线到面的距离的概念，并会求简单的点（线）到面的距离.（直观想 象、数学运算） #b# 3.理解直线与平面所成的角的概念，并会求简单的直线与平面所成的角.（直观想象、 数学运算） 学习目标 3 1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系呢？ [答案] 和平面内的任意直线都垂直. 2.垂直于同一个平面的两条直线有什么位置关系？ [答案] 这两条直线互相平行. 自主预习 4 3.如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与平面所成的角是多少？若直线与平面不垂直，则如何找直线与平面所成的角？ [答案] ，找直线与平面的投影所成的角. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若直线与平面所成的角为 ，则 .( ) × （2）若直线与平面 所成的角为 ，且 ，则直线与所成的角也是 . ( ) × （3）若直线平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 .( ) √ （4）若直线 平面 ，直线 直线，则直线平面 .( ) × 自主预习 6 2.如图，在正方体中，直线与平面 所成 的角等于____；与平面所成的角等于____； 与平面 所成的角等于___. [解析] 为与平面所成的角，且 ； 为与平面所成的角，且 ； 与 平面平行，即所成的角为 . 自主预习 7 3.已知在正方体中，，则点到平面 的距离为 ( ) . B A.1 B. C. D. [解析] 如图，连接，与交于点 ，在正方体 中， ，， ， 平面 . 点到平面的距离为 的长度. ，， . 自主预习 8 探究1 直线与平面垂直的性质定理 问题1： 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.如 图，在长方体中，棱，，， 所在 直线都垂直于平面 ，它们之间有什么位置关系？ [答案] 平行. 合作探究 9 问题2： 已知直线 ,直线 ，那么直线, 一定平行吗？如何用语言叙述该结论？ [答案] 一定平行.垂直于同一个平面的两条直线平行. 合作探究 10 问题3： 你能发现线面垂直的其他性质吗？ [答案] （1）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. （2）过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面. （5）如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直，那么这条直线与此平面平行. 合作探究 11 问题4： 两条异面直线能垂直于同一个平面吗？为什么？ [答案] 不能，因为垂直于同一个平面的两条直线平行，如果两条异面直线能垂直于同一个平面，则这两条异面直线共面，这与它的定义矛盾. 合作探究 12 新知生成 直线与平面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：若 ， ，则 . 合作探究 13 新知运用 例1 如图，在正方体中，是上的点， 是上的点，且与异面直线， 都垂直相交.求证： . 方法指导 要证明，只需证明 平面 ，且 平面 ，然后利用线面垂直的性质得出结论. 合作探究 14 [解析] 如图所示，连接，，， ， 平面， 平面， . 又， ， 平面 . 又 平面， . 同理可证，又 ， 平面 . ，又， . 又， ， 平面， . 合作探究 15 &1& 证明线线平行的常用方法 （1）利用线线平行的定义,证共面且无公共点. （2）利用三线平行公理,证两线同时平行于第三条直线. （3）利用线面平行的性质定理,把证线线平行转化为证线面平行. （4）利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直. 合作探究 16 如图，， ， ，垂足分别为， ， ，.求证： ． [解析] ， ，.同理 ． ，， 平面， 平面 ． 又 ， ， ． ，，， 平面 ， 平面 ． ． 合作探究 17 探究2 点到平面、直线到平面的距离 问题1： 我们知道求点到直线的距离的方法是过该点作直线的垂线，那么如何求点到平面的距离呢？ [答案] 也是过点作平面的垂线，点和垂足间的距离，即为点到平面的距离. 问题2： 如果直线与平面相交，那么直线到平面的距离是多少？ [答案] 0. 问题3： 已知直线与平面平行，如何求直线到平面的距离？ [答案] 若直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相