2.2 二倍角的三角函数课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.2 二倍角的三角函数 1 #b# 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.（逻辑 推理） #b# 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.（数学运 算） 学习目标 2 1.写出两角和的正弦、余弦、正切公式. [答案] ； ； ． 自主预习 3 2.写出二倍角的正弦、余弦、正切公式. [答案] ; ; ． 自主预习 4 3.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角 对于任意角 均成立吗？ [答案] 在 ， 中， 为任意角，在 中， ， ，即 ， ． 4.在 ， ， 的公式中， 是 的倍角，角 一定为具体角吗？ [答案] 角 不一定是具体角，也可为角的关系式. 自主预习 5 1.已知，则 ____． [解析] ． 自主预习 6 2. ___． 0 [解析] . 自主预习 7 3.已知，则 _____． [解析] ． 自主预习 8 探究1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 根据公式,, ，回答下列问题. 合作探究 9 问题1： 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令 ，公式的形式又是什么？ [答案] ; ; . 问题2： 二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特征是什么？它的简写和简称是什么？ [答案] 二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特征是公式左端是二倍角的三角函数， 右端是单角的三角函数；它的简写分别是,, ，简称是倍角公式，其他三倍角、 四倍角公式不能这样简称. 合作探究 10 新知生成 二倍角公式 （1） ___________. （2）_________________________ ___________. （3） _______. 特别提醒:（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. 合作探究 11 （2）对于和，，但是在使用时，要保证分母且 有 意义，即且且，.当及 ， 时， 的值不存在；当，时， 的值不存在，故不能用 二倍角公式求 ，此时可以利用诱导公式直接求 . 合作探究 12 新知运用 一、给角求值 例1 求下列各式的值： （1）；（2） ； （3）；（4） . 方法指导（1）逆用二倍角的正弦公式求解；（2）逆用二倍角的余弦公式求解； （3）逆用二倍角的正切公式求解；（4）需分子、分母同乘 ，凑二倍角的 正弦公式求解. 合作探究 13 [解析] （1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . （4） 原式 . 合作探究 14 &1& 对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结 合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求 解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二 倍角的正弦公式的形式. 合作探究 15 二、条件求值 例2 已知，，求 的值． [解析] ， . ， ． ． ， ． ． 合作探究 16 【变式探究】 1.若本例条件不变，求 的值． [解析] 原式 ． 合作探究 17 2.若本例条件变为“”，求 的值． [解析] ， ， 两边平方，得 ， ， 即 ， ． 合作探究 18 &2& 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察 方向：（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；（2）寻找角之间的关 系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 合作探究 19 1.已知，则 ( ) . A A. B. C. D. [解析] 因为 ， 所以，从而可得 . 合作探究 20 2.求下列各式的值： （1） ； （2） . [解析] （1）原式 . （2）原式 . 合作探究 21 3.已知，，求 的值． [解析] 原式 ． ，， ， ， ， 原式 ． 合作探究 22 探究2 二倍角公式的变形形式 现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分， 较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体的长度之比，其比值为 ； （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形； （3）有一个内角为 的等腰三角形为黄金三角形. 合作探究 23 问题1： 根据上述信息，你能求出 吗