1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.5 向量的数量积 1 课时2 数量积的坐标表示及其计算 2 #b# 1.理解掌握向量数量积的坐标表达式，会利用坐标进行数量积的运算.（数学抽象、数 学运算） #b# 2.掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题. （逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.平面向量的数量积（内积）的定义是什么？ [答案] . 2.向量与 垂直的条件是什么？ [答案] . 3.若,,如何计算与 的数量积？ [答案] . 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若，，则 .( ) × （2）若两个非零向量的夹角 满足，则两个向量的夹角 一定是锐角.( ) × （3）两个非零向量，，满足，则向量与 的 夹角为 .( ) × （4）若向量，,，则 .( ) × 自主预习 5 2.设，，，则 ( ) . A A.11 B.5 C. D.10 [解析] 由题意得， , 所以 .故选A. 自主预习 6 3.已知向量,，则，_ _____， _____. [解析] 由已知得，所以， . 又，所以 . 自主预习 7 探究1 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量, ,类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数 量积的坐标表示. 问题1： 若,是两个互相垂直且分别与轴、轴的正半轴同向的单位向量,则, 如何 用, 表示？ [答案] , . 合作探究 8 问题2： 能否用,的坐标表示 ？怎样表示？ [答案] 能, . 问题3： 向量垂直与向量的数量积的关系是什么？能用坐标表示向量垂直吗？ [答案] ,能. 合作探究 9 新知生成 设向量,,与的夹角为 . 数量积 向量垂直 合作探究 10 新知运用 一、给出坐标求数量积 例1 已知向量, . （1）求 ; （2）求 ; （3）若,求, . 方法指导 根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算. 合作探究 11 [解析] （1）（法一）,, ， . （法二） . （2） , , . 合作探究 12 （3） . . 合作探究 13 &1& 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通 常有两种方法：一是先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算;二是先利用数量积 的运算律将原式展开,再依据已知计算. 合作探究 14 已知向量与同向,, ,求： （1）向量 的坐标; （2）若,求 . [解析] （1）由题意可设 . ,,解得, . （2） , . 合作探究 15 二、向量垂直的坐标表示的应用 例2 已知点，， . （1）求证： . （2）若四边形为矩形，求点 的坐标. [解析] （1），，，， . 又， . （2），若四边形为矩形，则 . 设点的坐标为，则有 ， 解得 点的坐标为 . 合作探究 16 &2& 涉及非零向量， 的垂直问题时，一般需借助 来解决. 合作探究 17 已知向量，.若，则 ____. [解析] 由，得，解得 . 合作探究 18 探究2 平面向量的模、夹角 问题1： 若把表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别设为, ,如何 求的坐标？ 怎么用坐标表示？ [答案] , . 问题2： 设非零向量,, 是向量,的夹角,则 如何用坐标 表示？ [答案] . 合作探究 19 问题3： 已知向量,则与共线的单位向量的坐标是什么？与 垂直的单位向 量的坐标是什么？ [答案] 设与共线的单位向量为,则 ,其 中正号、负号分别表示与 同向、反向. 易知和 垂直, 所以与垂直的单位向量的坐标为, . 合作探究 20 新知生成 1.向量的长度 设，则 . 2.夹角的余弦值 设两个非零向量，，则两向量夹角余弦值的公式为 , . 合作探究 21 新知运用 例3 设平面内的向量,,,点在直线 上,且 . （1）求 的坐标; （2）求 的余弦值; （3）设,求 的最小值. 方法指导（1）根据,,三点共线可设 ,利用数量积公式列方程求解; （2）计算,,代入向量夹角公式计算;（3）计算得到关于 的二次 函数,求出函数的最小值即可. 合作探究 22 [解析] （1） 点在直线上,设 , , , ,解得 , . （2）由（1）可得, , . （3） , . 当时, 取得最小值，最小值为2, 的最小值为 . 合作探究 23 &3& 1.求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用