1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版）

1．5.2　数量积的坐标表示及其计算 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 2．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．　 3.会利用数量积计算长度与角度． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 续表 微点助解 (1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导． 在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． [基点训练] 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　 ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 答案：D　 解析： a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 答案：C　 解析：∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 3．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 因为a·b＝10，所以λ×1＋2λ×2＝5λ＝10， 解得λ＝2.所以a＝(2,4)． ②(a·c)·b＝[2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0. [方法技巧] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　 答案：D　 答案：B　 [答案]　(1)C　(2)C　(3)D [针对训练] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　 ) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D　 解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 4．已知a＝(2,1)，b＝(m,6)，向量a与向量b的夹角θ是锐角，求实数m的取值范围． 题型(三)　平面向量的模坐标表示 [典例3]　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小． [变式拓展] 1．例题中的条件不变，若c＝3a－(a·b)·b，试求|c|. 2．将例题中的“b＝(0,2)”改为“b＝(0，－2)”，其他条件不变，若ka－b与a＋b共线，试求k值． 解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，∴ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)， a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1. 答案：A　 6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________． [针对训练] 7．已知点A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，求证：△ABC是直角三角形． 坐标表示 数量积 a·b＝____________ 向量的长度 |a|＝_______或|a|2＝_________ 夹角的余弦值 cos θ＝＝_______________ x＋y 垂直条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔______________ 两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则||＝ (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． (3)与向量a同向的单位向量的坐标表示 因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝，