1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 [课时跟踪检测] 1.若向量a=(1，1)，b=(0，-1)，则a与b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. 解析：选D　因为cos<a，b>===-，又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=，即a与b的夹角等于.故选D. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：选D　因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x2-4x=0，故x=2，故选D. 3.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 解析：选C　a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3，所以x=-3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±，故B、D错误. 4.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 (　　) A.2 B. C.0 D.- 解析：选B　因为a=(1，)，b=(3，m)，所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m.又a，b的夹角为，所以cos ===， 所以+m=，解得m=. 5.(多选)已知平面向量a=(1，0)，b=(1，2)，则下列说法正确的是 (　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos<a，b>= D.向量a+b在a上的投影向量为2a 解析：选BD　因为向量a=(1，0)，b=(1，2)，所以a+b=(1+1，0+2)=(2，2).所以|a+b|==4，A错误.a·(a+b)=1×2+0×2=2，B正确.由向量的夹角公式，可得cos<a，b>==，C错误.向量a+b在a上的投影向量为·=×a=2a，D正确.故选BD. 6.已知a=(1，2)，b为单位向量，若a·b+|a||b|≤0，则b= (　　) A. B. C. D. 解析：选D　由题意可得a·b+|a||b|=|a||b|·cos<a，b>+|a||b|=|a||b|(cos<a，b>+1)≤0.因为|a|，|b|≠0，所以cos<a，b>+1≤0，即cos<a，b>≤-1，可得cos<a，b>=-1.又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=π，即a，b反向，可得b=-=-a=-a=.故选D. 7.(多选)已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角为的是 (　　) A.|a|=1，|b|=6，a·(b-a)=2 B.|a|=|b|=1，a2+a·b= C.a=(，-1)，b=(2，2) D.a=(2，2)，b=(-3，0) 解析：选ABC　设向量a与b的夹角为α.对于A，∵a·(b-a)=a·b-a2=2，∴a·b=|a||b|cos α=3.∴cos α=.∵α∈[0，π]，∴α=，故A正确.对于B，∵a2+a·b=，|a|=1，∴a·b=|a||b|cos α=.∴cos α=.∵α∈[0，π]，∴α=，故B正确.对于C，由a=(，-1)，b=(2，2)，得|a|=2，|b|=4，a·b=4.∴a·b=|a||b|cos α=4.∴cos α=.∵α∈[0，π]，∴α=，故C正确.对于D，由a=(2，2)，b=(-3，0)，得|a|=4，|b|=3，a·b=-6.∴a·b=|a|·|b|cos α=-6.∴cos α=-.∵α∈[0，π]，∴α=，故D错误.故选ABC. 8.(5分)已知点A(1，0)，B(-2，1)，向量e=(0，1)，则在e方向上的投影长为　　　　.  解析：由A(1，0)，B(-2，1)，可得=(-3，1)，所以在e方向上的投影长为==1. 答案：1 9.（5分）已知向量a=(-2，3)，非零向量b满足a⊥b，则b=　　　　.(写一个向量坐标即可)  解析：设b=(x，y)，则由a⊥b得a·b=-2x+3y=0，取x=3，则y=2，b=(3，2). 答案：(3，2)(答案不唯一) 10.（5分）如图，在2×4的方格纸中，若向量a，b的起点和终点均在格点，则向量a+b，a-b夹角的余弦值是　　　　.  解析：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(2，-1)，b=(3，2)，所以a+b=(5，1)，a-b=(-1，-3). 所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8，|a-b|=，|a+b|=.所以向量a+b，a-b夹角的余弦值为=-. 答案：- 11.(5分)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P在线段BC上运动. (1)当点P与点C重合时，·=　　　　.  (2)·的最小值是　　　　.  解析：(1)如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，当点P与点C重合时，A(0，0)，P(1，1)，C(1，1)，B(2，0)， =(1，1)，=(-1，1)，·=1×(-1)+1×1=0. (2)由(1)可知，△ABC是等腰直角三角形，设P(2-y，y)，0≤y≤1，=(2-y，y)，=(-y，y)，·=(2-y)·(-y)+y2=2y2-2y=2，当y=时，·的最小值是-. 答案：(1)0　(2)- 12.(10分)已知向量a=(2，0)，b=(1，). (1)设k∈R，求|2a-kb|的最小值；（5分） (2)若向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围.（5分） 解：(1)由题意得2a-kb=2(2，0)-k(1，)=(4-k，-k)， 所以|2a-kb|===. 所以当k=1时，|2a-kb|取得最小值为2. (2)因为ta+b=t(2，0)+(1，)=(2t+1，)，a+tb=(2，0)+t(1，)=(2+t，t)，向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角， 所以(ta+b)·(a+tb)<0，且向量ta+b与向量a+tb不能共线，即t≠±1. 所以(2t+1)(2+t)+×t=2t2+8t+2<0， 解得-2-<t<-2+.故实数t的取值范围为(-2-，-1)∪(-1，-2+). 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(6分) (2)设实数t满足(-t)·=0，求t的值.（4分） 解：(1)由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，=(4，4).所以|+|=2，||=4.故所求的两条对角线的长分别为2，4. (2)由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)，由(-t)·=0，得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-. 14.(10分)已知O是坐标原点，=(2，3)，=(1，4). (1)求向量在方向上的投影向量的坐标和投影长；（5分） (2)若=3=3=2+，请判断C，D，E三点是否共线，并说明理由.（5分） 解：(1)由向量=(2，3)，=(1，4)， 可得||=·=2×1+3×4=14， 则投影向量的坐标是||cos<>·=·=， 投影长是|||cos<>|==，即向量在方向上的投影向量的坐标是，投影长是. (2)C，D，E三点共线，理由如下：因为向量=(2，3)，=(1，4)，=3=3=2+， 所以=(6，9)，=(3，12)，=(5，10). 所以==(-3，3)，==(-1，1)，可得=3.所以C，D，E三点共线. 15.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，CD=1，P是线段AD(包括端点)上的一个动点. (1)当AD=时，求·的值；（3分） (2)在(1)的条件下，若·=，求；（6分） (3)求|2+|的最小值.（6分） 解：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意得，A(0，0)，B(2，0)， ∴=(2，0). (1)∵AD=，∴C(1，). ∴=(1，).∴·=1×2+×0=2. (2)设=t，则点P的坐标为(0，t)(0≤t≤). ∴=(2，-t)，=(1，-t).∴·=2×1+(-t)×(-t)=t2-t+2=+=(0≤t≤)，解得t=，即=. (3)设C(1，c)(c>0)，P(0，m)(0≤m≤c)，∴=(2，-m)，=(1，c-m).∴2+=2(2，-m)+(1，c-m)=(5，c-3m).∴|2+|=≥5，当且仅当m=时取等号.因此|2+|的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $