抛物线切线与阿基米德三角形讲义-2024届高三数学二轮复习

专题 抛物线切线与阿基米德三角形 第一讲 抛物线切线方程及性质 设在抛物线上任意一点的切线方程为: 证明:点在抛物线上;又求导得; 在点的切线方程为:即 同理,在抛物线上任意一点的切线方程为: 证明:点在抛物线上;又对y求导得; 在点的切线方程为:即 定理:在抛物线上任意一点的切线与x轴的交点为B,则.(图左) 在抛物线上任意一点的切线与y轴的交点为B,则.(图右) 证明:将代入点A处的切线方程得:; 故B为AC中点,又,故为等腰三角形,故. 同理可证,在图右中为等腰三角形, 【例1】点M是抛物线上的点,则以点M为切点的抛物线的切线方程为 . 【解析】将点M代入抛物线得:p=2,故以点M为切点的切线方程为,即 【例2】过点A且和抛物线C:相切的直线l方程为 . 【解析】设直线与抛物线切于点,故有代入点A得:,与抛物线方程联立得:或.故切线方程为或. 【例3】直线l经过点且与抛物线只有一个公共点,满足这样条件的直线l有 条. 【解析】设直线与抛物线切于点,故有代入点得:,与抛物线方程联立得:或,故存在两条切线,还有一条直线与抛物线只有一个公共点,故答案为3条. 第二讲 阿基米德三角形与焦点弦 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形,这个三角形又常被称为阿基米德三角形.阿基米德三角形的得名,是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论: 抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.下面来逐一介绍阿基米德三角形. 如图,已知Q是抛物线准线上任意一点,过Q作抛物线的切线QA、QB分别交抛物线于A、B两点,M()为AB中点,则: (1);(2)AB过抛物线的焦点;(3) 证明:(1)点在抛物线上 求导得; (求导) 所以点的切线方程为: 即 (切线) 得:, (作差) 即 (求点) (2)将点Q代入切线方程得: (代入) 令AB方程为,代入得: (联立) ,所以直线AB过定点即抛物线焦点. (过定点) 同理,此性质在抛物线依然成立. 由于极点极线的方法是不能出现在高考解答题中的,所以在抛物线的切线问题中,上述证明过程即解答题思路,即:导 差 代 联 【例4】已知点P在抛物线C:的准线上,过点P的直线与抛物线C相切于A,B两点,则直线AB的斜率为( ) A. B. C. D. 【解析】P(﹣3,2)在抛物线C:的准线上,故p=6,抛物线 C:y2=12x,根据秘籍中的性质(1)可知,AB中点的纵坐标与P点纵坐标相等(如图),即,且AB过抛物线的焦点;设AB方程为,代入抛物线方程得:,,故直线AB的斜率为3. 【例5】已知抛物线. (1) 若抛物线上点到焦点F的距离为3,求抛物线的方程; (2)设抛物线的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线的切线,求此切线方程; 【解析】(1),故抛物线的方程为; (2)E点坐标为,设抛物线的切点为Q,求导得,故切线方程为将点E代入切线方程得:,故,由此可得切线方程为或. 第三讲 阿基米德三角形的极点极线性质 定理1:设过点P与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M,交切点弦于点Q,则Q点平分切点弦AB.(无论点P在曲线的什么位置,上述结论均成立).且M处的切线平行于抛物线的切点弦.(图1,3) 定理2:直线上一动点Q引抛物线两切线QA,QB,则过两切点的直线AB必过定点G(图2,4)可以理解为极点和极线相互牵连; 如图1,点为抛物线外任意一点,过点作抛物线两条切线分别切于A、B两点,AB的中点为Q,直线PQ交抛物线于点M 求证:(1)(m为直线AB在轴上的截距);且直线AB方程为; (2)设点M处的切线,求证//. 【证明】(1)点在抛物线上求导得;(求导) 在点的切线方程为:即 (写切线方程) 得:,即(作差) 将点Q代入切线方程得: (代入) 令AB方程为,代入得:所以直线AB过定点(0,);故AB方程为 (联立) (2) ,M点坐标为,以M点为切点的切线斜率为,故//. 注意:抛物线的切线解题模式为:导 差 代 联,即求导写切线方程,切线方程进行作差,将求出来的点坐标代入切线方程,联立直线与抛物线得到直线过定点. 如图2,点为直线上一动点,过点Q引抛物线两条切线QA,QB,则过两切点的直线AB必过定点G. 【证明】由定理1结论可知AB:,又Q在直线上,故,将两式联立得:,由于为任意数,故(图4也可以推导,过直线AB定点G 【例6】过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的斜率为 . 【解析】根据定理1的公式得,AB直线方程为:,故斜率为3. 【例7】在平面直角坐标系中,动点P到定点的距离比点P到轴的距离大,设动点P的轨迹为曲线C,直线交曲线C于A,B两点,M是线段AB的中点,过点M作轴的垂线交曲线C于点N. (1)求