3.5 圆锥曲线的应用课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.5 圆锥曲线的应用 1 1.了解圆锥曲线的发展和应用.（数学抽象） 2.掌握圆锥曲线在天体运行轨道、斜抛物体轨迹、光学性质以及现代建筑中的应用与体现.（数学建模、数学运算） 学习目标 2 探究1 天体运动的轨道 例1 如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心） 为其中一个焦点的椭圆.已知它的近地点 （离地面最近的点） 距地面 千米，远地点 （离地面最远的点）距离地面 千米， 并且 ， ， 在同一条直线上，地球的半径为 千米，则“天 宫三号”运行的轨道的短轴长为( )千米. D A. B. C. D. 合作探究 3 [解析] 由题设条件可得 ， ， 设椭圆的长半轴长为 ，半焦距为 ，则 ， ， 故短半轴长为 ， 所以短轴长为 . 4 &1& 开普勒行星运动定律激发了人们更深入的思考.牛顿根据开普勒定律得出万有引力定律，人们按照万有引力定律可以推出，太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨道上运行，而某些天体的运行速度若增大到某种程度，则它就将会沿抛物线或双曲线运行. 5 人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为 ，卫星近地点、远 地点离地面的距离分别为 ， ，则卫星轨道的离心率等于( ). A A. B. C. D. [解析] 因为椭圆的离心率 , 由题意结合图形可知， ， ， 所以 . 6 探究2 斜抛物体的轨迹 例2 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一 个花形柱子 ， 恰好在水面中心， 米，安置在柱 子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的 C A.1 B.2 C.2.5 D.4 抛物线路径落下，且在过 的任一平面上抛物线路径如图所示.为使水流形状较为漂 亮，设计成水流在到 距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因 素，那么为了使喷出的水流不致落到池外，水池的半径至少为( )米. 7 [解析] 如图,以抛物线的顶点 为坐标原点，建立平面直角坐 标系，水柱与水面的交点为 . 设抛物线方程为 ，则点 在抛物线上,由 ，得 ，解得 , 则抛物线方程为 . 设 ，则 ,又 ,解得 ， 则水池半径为 米， 所以水池的半径至少为2.5米. 8 &2& 运动场上推出的铅球、投出的篮球，都是斜抛物体，它们的运动轨迹近似于抛物线.喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体，水柱的形状也接近于抛物线. 9 跳水运动员在进行 跳台跳水比赛时,身体（看成一 点）在空中的运动路线为经过原点 的一条抛物线（如图所 示，图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正 常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 ，入水处 距池边的距离为 ，同时，运动员在距水面高度为 或 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势， 否则就会出现失误. 10 （1）求这条抛物线的解析式. 11 [解析] 在给定的平面直角坐标系下，设最高点为 ，入水点 为 ，抛物线的解析式为 . 由题意知， , 两点的坐标分别为 , ，且顶点 的纵坐标为 ， 则有 12 解得 或 抛物线的对称轴在 轴右侧， . 又抛物线的图象开口向下， , , ， ， . 抛物线的解析式为 . （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在 空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ，问此次跳水会不会失误？并通过 计算说明理由. [解析] 当运动员在空中距池边的水平距离为 ，即 时， ， 此时运动员距水面的高为 . 因此，此次跳水会出现失误. 14 （3）要使此次跳水不至于失误，且该运动员按（1）中抛物线运行，则运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？ [解析] 当运动员在 轴上方，即 的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不 会失误，但很难做到. 当 ,即 时，要使跳水不出现失误，则应有 ，得 ,得 ，解得 . 此时,运动员距池边的距离至多为 . 15 探究3 光学性质及其应用 例3 圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们 的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭 圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点 处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物 线的对称轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了 圆锥曲线的光学性质，此展品