第3章 3.5 圆锥曲线的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦圆锥曲线的概念、性质及应用，从椭圆的定义与性质（如天体运动轨迹中的近地点、远地点）出发，延伸到抛物线（斜抛物体轨迹）、双曲线（建筑结构）的实际应用，构建“概念—性质—问题解决”的学习支架，系统梳理离心率、焦点准线距离等关键知识。 资料以天问一号环火轨道、东方之门抛物线造型等现实情境为载体，引导学生用数学眼光观察自然与建筑中的曲线规律。通过坐标法建模、例题解析与跟踪训练，培养数学思维中的推理能力和模型意识，帮助学生用数学语言表达轨迹方程与光学性质。课中辅助教师开展情境教学，课后通过课时对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

学习目标　1.掌握圆锥曲线的概念、性质.2.能利用圆锥曲线的有关性质解决实际问题. 一、天体运动的轨迹 例1　(课本例1)　某颗小行星的运动轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486 天文单位，最远距离是5.563 天文单位(1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位).求椭圆轨道的长轴长和短轴长各是多少(精确到0.001天文单位). 解　如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c，太阳位于焦点F1处. 小行星P到两焦点的距离之和|PF1|+|PF2|等于一个固定值2a，要使|PF1|最大，必须距离之差|PF1|-|PF2|最大，但|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，|PF1|-|PF2|达到最大值2c，|PF1|达到最大值=a+c.又当|PF2|达到最大值a+c时，|PF1|达到最小值a-c，可见 解得2a=5.563+1.486=7.049. 由b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=5.563×1.486， 利用计算器可算得2b=2×≈5.750. 故椭圆的长轴长为7.049天文单位，短轴长为5.750天文单位. 例1　我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径为6 371 km，如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，AB与地球交于C，D两点.求卫星运行的轨道方程.(结果精确到1 km) 解　设椭圆方程为+=1(a>b>0). 由题意知|AC|=439，|BD|=2 384，|F2C|=|F2D|=6 371. a-c=|OA|-|OF2|=|F2A| =439+6 371=6 810， a+c=|OB|+|OF2|=|F2B| =2 384+6 371=8 755， 两式相加得a=7 782.5≈7 783， 所以b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=59 621 550， 因此，卫星运行的轨道方程是+=1. 反思感悟　解答与天体运动相关的应用问题时，将事物的实际含义向椭圆的几何性质转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题. 跟踪训练1　“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265千米.若此时远火点距离约为11 945千米，火星半径约为3 395千米，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为(　　) A.0.61 B.0.67 C.0.71 D.0.77 答案　A 解析　设椭圆的方程为+=1(a>b>0)， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c，最大值为a+c， 根据题意可得近火点满足a-c=3 395+265=3 660，a+c=3 395+11 945=15 340， 解得a=9 500，c=5 840， 所以椭圆的离心率为e==≈0.61. 二、斜抛物体的轨迹 例2　(课本例2)　将物体向斜上方抛出，抛出时的速度大小为v0 m/s，方向与水平方向的夹角为α.假如只考虑重力，不计空气阻力，证明斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分，并求这条抛物线的焦点与准线之间的距离. 解　如图，设物体运动轨迹的最高点为O，以O为原点在运动轨迹所在平面内建立平面直角坐标系，以1 m为单位长度，使x轴指向物体在点O前进的方向，y轴的正方向竖直向上. 设物体在点O的时刻为0，物体在t时刻的位置坐标为(x，y).这里允许t取负值，表示物体到达最高点O之前的情况. 斜抛物体的运动可以分解为水平方向的运动和竖直方向的运动.物体在水平方向(即x轴方向)没有受力，其运动是匀速直线运动，速度为v0cos α m/s，则物体在时刻t的横坐标为x=(v0cos α)t. 物体在竖直方向(即y轴方向)上有重力加速度-g，到达最高点O时(即t=0时)的速度为0，则物体在时刻t的纵坐标为y=-gt2. 故物体在时刻t的位置坐标(x，y)=. 由x=v0tcos α解得t=，再代入纵坐标表达式，得y=-g，则x2=-y. 它具有抛物线标准方程x2=-2py的形式，其中p=. 这证明了斜抛物体的运动轨迹是抛物线，这个抛物线的焦点与准线之间的距离为p=. 例2　将物体向斜上方抛出，抛出时的速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为α.假如只考虑重力，不计空气阻力，证明斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分，并求这条抛物线的焦点与准线之间的距离. 解　如图，设物体运动轨迹的最高点为O，以O为原点在运动轨迹所在平面内建立平面直角坐标系，以1 m为单位长度，使x轴指向物体在点O前进的方向，y轴的正方向竖直向上. 设物体在点O的时刻为0，物体在t时刻的位置坐标为(x，y).这里允许t取负值，表示物体到达最高点O之前的情况. 斜抛物体的运动可以分解为水平方向的运动和竖直方向的运动.物体在水平方向(即x轴方向)没有受力，其运动是匀速直线运动，速度为v0cos α，则物体在时刻t的横坐标x=(v0cos α)t. 物体在竖直方向(即y轴方向)上有重力加速度-g，到达最高点O时(即t=0时)的速度为0，则物体在时刻t的纵坐标y=-gt2. 故物体在时刻t的位置坐标(x，y) =. 由x=v0tcos α解得t=，再代入纵坐标表达式，得y=-g，则x2=-y. 它具有抛物线标准方程x2=-2py的形式，其中p=. 这证明了斜抛物体的运动轨迹是抛物线，这个抛物线的焦点与准线之间的距离为p=. 反思感悟　在斜抛运动中，由于不考虑空气阻力，只受重力作用，因此，对斜抛运动有多种建系方法，一是以最高点为坐标原点建立坐标系，二是以抛出点为坐标原点建立坐标系. 跟踪训练2　如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O'P=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为　　　　　　 m.(精确到1 m) 答案　5 解析　如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，依题意，有P'(1，-1)在此抛物线上，代入得p=，故得抛物线方程为x2=-y. 又B在抛物线上，将B(x，-2)代入抛物线方程得x=，即|AB|=，则水池半径应为|AB|+1=+1(m). 因此所求水池的直径为2(1+)≈5 (m)，即水池的直径至少应设计为5 m. 三、光学性质及其应用 例3　(课本例3)　如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 解　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度，则可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0). 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)，代入抛物线方程得302=2p×40，解得p=，则焦点坐标为.故光源应安置在与顶点相距 cm=5.625 cm处. (2)由(1)可得抛物线方程为y2=x. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为=33.故将y=33代入抛物线方程求得x==48.4.此时，探照灯的深度为48.4 cm. 例3　一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8 cm，|F1F2|=4.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解　建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为+=1(a>b>0). 在Rt△BF1F2中， |F2B|= =. 由椭圆的定义，知|F1B|+|F2B|=2a，|F1F2|=2c， 所以a=×(|F1B|+|F2B|)=×(2.8+)≈4.1， c=|F1F2|=×4.5=2.25， 所以b==≈3.4， 所以截口BAC所在椭圆的方程为+=1. 反思感悟　圆锥曲线的光学性质 (1)椭圆：光线从一个焦点发出，经过椭圆边界反射后会到达另一个焦点. (2)双曲线：从双曲线的一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上. (3)抛物线：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴；反之，沿着平行于抛物线的对称轴的方向向抛物线发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线都聚焦于抛物线的焦点上. 跟踪训练3　从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与T反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点F1发出，经T两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2=3t1，则T的长轴长与S的实轴长之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.2∶1 D.3∶1 答案　D 解析　在题图①中，由椭圆的定义得|BF1|+|BF2|=2a1，由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a2， 两式相减得|BF1|+|AF1|+|BF2|-|AF2|=2a1-2a2，所以△ABF1的周长为 2a1-2a2， 在题图②中，△CDF1的周长为4a1， 因为光速相同，且t2=3t1， 所以 ==，即a1=3a2， 所以2a1∶2a2=3∶1， 即T的长轴长与S的实轴长之比为3∶1. 四、圆锥曲线在现代建筑中的体现 例4　苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30 m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为(　　) A.180 m B.200 m C.220 m D.240 m 答案　B 解析　建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)， 由题意设D(15，h)，B(30，h-150)， 则 解得h=-50，p=2.25. 所以此抛物线顶端O到连桥AB的距离为50+150=200(m). 反思感悟　建筑物的“结构、功能、美”是建筑物的三要素.设计者应掌握各种数学知识，才能让建筑物具备安全结实的结构、便利实用的功能和满足人们的审美需求.数学曲线之美，是把数学融入到建筑中，表现出数学曲线的壮美. 跟踪训练4　如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16 m，上口半径为17 m，下口半径为28.5 m，高为70 m.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设|OA|=16，|DC|=17，|EB|=28.5，|DE|=70，则双曲线的方程近似为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　A 解析　根据题意，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 因为|OA|=16，|DC|=17，|EB|=28.5，|DE|=70， 所以a=16，设|DO|=y0， 则点C(17，y0)，B(28.5，y0-70)在双曲线-=1(a>0，b>0)上， 所以-=1，-=1， 因为≈3.17，≈1.13， 所以≈0.13，≈2.17， 所以≈0.06，解得y0≈13.7， 所以b2≈≈≈382. 故双曲线的方程近似为-=1. 1.知识清单： (1)天体运动的轨迹. (2)斜抛物体的轨迹. (3)光学性质及其应用. (4)圆锥曲线在现代建筑中的体现. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区：光学性质混淆；坐标系建立不当；在坐标系中点的正负与实际问题不一定完全一致. 1.六安市广播电视发射塔被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔.发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成.其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图1)，它的最小口径为2r米，在最小口径上方h米处的口径为4r米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线(如图2)，则其渐近线的方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案　B 解析　设双曲线C：-=1(a>0，b>0)， 由题意得，a=r，双曲线又过点， 代入方程可得-=1，b=， 所以双曲线渐近线的方程为y=±x=±x. 2.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y=ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，-2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　) A. B.(0，-1) C. D. 答案　A 解析　依题意A(2，-2)在抛物线y=ax2(a≠0)上，所以-2=a×22⇒a=-， 所以y=-x2，x2=-2y， 故2p=2，=，且抛物线开口向下， 所以抛物线的焦点坐标为. 3.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，卡门位于另一个焦点F2上.已知此椭圆的离心率为，且=5 cm，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为(　　) A.9 cm B.10 cm C.14 cm D.18 cm 答案　A 解析　设椭圆的方程为+=1(a>b>0)， 因为此椭圆的离心率为，且|F1F2|=5 cm， 所以e==，2c=5，所以a=， 所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为2a=9(cm). 4.如图，载人飞船的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e.设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该飞船近地点离地面的距离为　　　　　　.  答案　 解析　由题设，若椭圆轨道对应方程为 +=1且a>b>0， 由椭圆的几何性质知 则 则近地点离地面的距离为 a-c-r=--r=. 课时对点练 [分值：70分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6 A.U.，远日点距离太阳约35 A.U.(A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1 A.U.=149 597 870千米).物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1015 kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是(　　) A.0.03 B.0.97 C.0.83 D.0.77 答案　B 解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c， 由题意可得解得 ∴e==≈0.97. 2.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线-=1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案　B 解析　双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，下焦点为(0，-c)， 因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2， 所以==b=2， 因为焦距为，所以c=， 所以a===， 所以=， 所以双曲线的渐近线方程为y=±x. 3.矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线E：x2=-2py+4(p>0)的焦点为F，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点F的距离为(　　) A. B.2 C.2 D. 答案　D 解析　依题意，安全抛物线E的顶点坐标为，则安全抛物线的顶点到焦点F的距离为=+，p>0，解得p=4， 于是得安全抛物线E的方程为x2=-8y+4，由y=0得，x=±2，即安全抛物线E与x轴的交点坐标为M， 因此，|MF|==， 所以矿石落点的最远处到点F的距离为. 4.为了实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立了一座景观喷泉.如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点B离地面4 m，点B到管柱OA所在直线的距离为2 m，且水流落在地面上以O为圆心，6 m为半径的圆内，则管柱OA的高度为(　　) A.2 m B.3 m C.2.5 m D.1.5 m 答案　B 解析　如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意知，水流的轨迹为开口向下的抛物线，设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)， 因为点C(4，-4)，所以16=-2p×(-4)， 解得p=2，所以抛物线方程为x2=-4y， 设点A(-2，y0)，又点A在抛物线上， 所以4=-4y0，解得y0=-1， 所以|OA|=4-|y0|=3， 所以管柱OA的高度为3 m. 5.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，则cos∠F1F2P等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为e=， 所以c=a，a=b， 不妨设双曲线的标准方程为x2-y2=1， 设|PF2|=m(m>0)， 则|PF1|=2+m， 所以m2+(m+2)2=(2)2， 解得m=-1(m=--1舍)， 所以cos∠F1F2P==. 6.(5分)“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是R，4R，则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为　　　　　　.  答案　 解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c， 因为地球半径为R，且其近地点、远地点离地面的距离大约分别是R，4R， 可得 解得a=R，c=R， 所以椭圆的离心率e===. 7.(5分)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图②所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 　　　　　　m.  答案　1.44 解析　如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在x轴上， 设抛物线的标准方程为y2=2px，由已知条件可得， 点A在抛物线上， 所以2p=2.42， 解得p=2.88， 所以所求抛物线的标准方程为y2=5.76x，焦点坐标为， 因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m. 8.(12分)如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|=18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为矩形CDEF.若|CD|=9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？ 解　如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则B(9，-8)， 设抛物线方程为x2=-2py(p>0)， 因为B点在抛物线上， 所以81=-2p·(-8)， 所以p=， 所以抛物线的方程为x2=-y， 当x=时，y=-2， 即|DE|=8-2=6(米). 所以|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥. 9.(多选)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则以下说法正确的是(　　) A.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2R B.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-r C.若r不变，则R越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短 D.若R不变，则r越小，椭圆轨道Ⅱ的离心率越大 答案　BD 解析　设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c. 依题意得解得a=，c=. 椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为2a=R+r，故A错误； 椭圆轨道Ⅱ的焦距为2c=R-r，故B正确； 椭圆轨道Ⅱ的短轴长2b=2=2，若r不变，R越大，则2b越大，故C错误； 椭圆轨道Ⅱ的离心率e===-1+，若R不变，r越小，则e越大，故D正确. 10.伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：-x2=1(a>0)上支的一部分，点F为C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则|PF|与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　因为双曲线C：-x2=1(a>0)的离心率为，所以=，解得a2=4， 则双曲线C方程为-x2=1，c=， 所以下焦点F(0，-)，渐近线方程为y=±2x， 设上焦点为F1(0，)， 则|PF|=|PF1|+2a=|PF1|+4， 由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为y=2x，设点P到y=2x的距离为d，则 |PF|与点P到C的一条渐近线的距离之和为 |PF|+d=|PF1|+4+d， 因为|PF1|+d的最小值为F1(0，)到渐近线y=2x的距离=1， 所以|PF|+d=|PF1|+4+d的最小值为4+1=5，即|PF|与点P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5. 11.(多选)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若外层椭圆C1：+=1(a1>b1>0)和内层椭圆C2：+=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2.则下列说法正确的是(　　) A.-<- B.a1-a2>b1-b2 C.如图2，如果两个椭圆C2，C1分别是同一个矩形(此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行)的内切椭圆(即矩形的四条边与椭圆C2均有且仅有一个交点)和外接椭圆，则= D.如图3，如果由外层椭圆C1的左顶点A向内层椭圆C2分别作两条切线与C1交于M，N两点，C1的右顶点为B，直线AM与BN的斜率之积为，则椭圆C1的离心率为 答案　BCD 解析　由=且a1>a2， 得->-，即->-，故A错误； 由=，得1-=1-，则a2=，所以a1-a2=a1-=(b1-b2)>b1-b2，故B正确； 由题意得F(a2，b2)满足椭圆C1的方程， 即+=1，由B选项可得=，则=， 所以2=1，=，故C正确； 由对称性知M，N关于x轴对称，A(-a1，0)， 设M(x0，y0)，N(x0，-y0)，B(a1，0)， 则kAM=，kBN=， 则kAMkBN====， 故离心率e==，故D正确. 12.(多选)圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，经过双曲线上的一点P，在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3，-1)，其左、右焦点分别为F1，F2.若从F2发出的经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线C的方程为x2-y2=8 B.过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ C.若PF2⊥PQ，则|PF1|·|PF2|=18 D.若∠F1PF2=60°，则|PT|= 答案　ABD 解析　对于A，因为双曲线C为等轴双曲线，且焦点在x轴上，设双曲线C的方程为-=1(a>0)， 因为双曲线C过点(3，-1)， 所以-=1，解得a2=8，得到双曲线C的方程为x2-y2=8，故A正确； 对于B，如图，由题知∠F1PT=∠F2PT，∠F1PT=∠MPQ，所以∠MPQ=∠F2PT， 若HP⊥TM，则∠F2PH=∠QPH，故B正确； 对于C，设|PF1|=m，|PF2|=n，因为PF2⊥PQ，则△F1PF2为直角三角形， 则m2+n2=|F1F2|2，即(m-n)2+2mn=|F1F2|2，又由前面分析可得m-n=4，|F1F2|=8，可得mn=16，故C错误； 对于D，因为∠F1PF2=60°，|PF1|=m，|PF2|=n，则cos∠F1PF2===， 可得mn=32，m+n==4，由题意得PT平分∠F1PF2，所以∠F1PT=∠F2PT=30°，所以m·|PT|sin 30°+n·|PT|sin 30°=(m+n)|PT|sin 30°=mnsin 60°， 即4×|PT|×=32×，解得|PT|=，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $