3.4 曲线与方程课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程 1 1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.（数学抽象、直观想象） 2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（数学抽象、直观想象） 3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.（逻辑推理） 学习目标 2 曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？ [答案] 如果（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 自主预习 3 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 与 表示同一条曲线.( ) × （2）过点 且斜率为 的直线的方程是 .( ) × （3）已知曲线 的方程是 ,若点 在曲线 上，则有 . ( ) √ （4）以 ， ， 为顶点的 的 边上中线所在直线的方程是 .( ) √ 4 2.已知直线 及曲线 ，则点 ( ). B A.在直线 上，但不在曲线 上 B.在直线 上，也在曲线 上 C.不在直线 上，也不在曲线 上 D.不在直线 上，但在曲线 上 [解析] 将点 的坐标分别代入直线 和曲线 的方程,知点 在直线 上，也在曲线 上. 5 3.在平面直角坐标系 中，若定点 与动点 满足 ，则点 的轨迹方程为______________. <m></m> [解析] 由题意知， ， ，则 .由 ， 得 ，即点 的轨迹方程为 . 6 4.已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比是常数 ，求 动点 的轨迹. [解析] 因为动点 到定点 和到定直线 的距离之比是常数 ， 所以 ， 两边平方并化简,得 ，即 ， 所以点 的轨迹是长轴长为10，短轴长为8的椭圆. 7 探究1 曲线与方程的概念 问题： 如何用集合法判断曲线与方程的关系？ [答案] 若曲线是点集 ,方程 的解集为 ,则曲线和方程概念中的两个条件 可以表示为 ; ． 所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是说明这两个集合相等,这是判断方程是否 为所给曲线的方程,曲线是否为所给方程的曲线的标准． 合作探究 8 新知生成 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 （看作满足某种条件的点的集合或轨 迹）上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 9 新知运用 例1 如果坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么( ). C A.曲线 上的点的坐标都满足方程 B.凡坐标不满足方程 的点都不在曲线 上 C.不在曲线 上的点的坐标必不满足方程 D.不在曲线 上的点的坐标有些满足方程 ，有些不满足方程 方法指导 由于题中方程 与曲线 不是一一对应的，因此曲线 上的点 的坐标未必都满足方程 ． 10 [解析] 满足方程 的点都在曲线 上，但曲线 上的点的坐标不一定都满足方程 ，故A不正确；坐标不满足方程 的点，也可能在曲线 上，故B不正确；因为满足方程 的点都在曲线 上，所以不在曲线 上的点必不满足方程 ，故C正确，D不正确． 11 &1& 判断方程是否是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否满足方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 12 判断下列命题的真假，并说明原因． （1）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 . [解析] 假命题．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线，即 和 ． 直线 上的点的坐标都是方程 的解，而直线 上的点（除原点外）的坐标都不 是方程 的解． 这显然和曲线与方程关系中的条件“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”不相符． 13 （2）已知 , 两点的坐标分别为 , ，则满足 的动点 的轨 迹方程为 ． [解析] 假命题．由题意可知，动点 的轨迹是以线段 为直径的圆（除去 ， 两点）， 因此尽管动点 的坐标都满足方程 ，但以方程 的解为坐标的点不一定都在动点 的轨迹上． 14 探究2 曲线方程的判定与证明 问题： 如果曲线 的方程是 ，那么点 在曲线 上的充要条件是什么? [答案] 若点 在曲线 上，则 ；若 ，则点 在曲线 上.所以点 在曲线 上的充要条件是 ． 15 新知生成 若曲线 的方程是 ，则点 在曲线