3.3.1 抛物线的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 1 3.3.1 抛物线的标准方程 2 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.（数学抽象） 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.（直观想象、数学建模） 学习目标 3 1.观察教材第133页图3.3-1，将一直尺固定在画图板内直线 的位置上，取一个直角三 角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边 .在另一条直角边上取定点 ，设三角板的 直角顶点为 ，再取一条长度正好等于 的细线.现将这条细线的一端固定在三角板 的顶点 处，另一端用大头针固定在点 处，用一支铅笔扣着细线，紧靠着三角板的 这条直角边把细线绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖所在的点 就描出了一条曲线. 自主预习 4 （1）点 的轨迹是什么形状？ [答案] 抛物线. （2） 与 之间有什么关系？ [答案] 相等. （3）抛物线上任意一点 到点 和直线 的距离都相等吗？ [答案] 都相等. 5 2.观察教材第134页图3.3-2，直线 的方程为 ，定点 的坐标为 ， 设 ，根据抛物线的定义可知 ，则点 的轨迹方程是什么？ [答案] . 3.抛物线方程中 的几何意义是什么？ [答案] 的几何意义是焦点到准线的距离. 4.抛物线方程有几种形式？ [答案] 抛物线方程有四种形式，即 ， ， ， ， 其中 . 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数.( ) × （2）抛物线的焦点到准线的距离是 .( ) √ （3）抛物线 的焦点坐标为 .( ) × （4）以 为焦点的抛物线的标准方程为 .( ) √ 7 2.抛物线 的焦点坐标是( ). B A. B. C. D. [解析] 抛物线 的焦点在 轴的负半轴上，且 ，因此焦点坐标是 . 8 3.若抛物线 上一点 的横坐标为4，则点 到抛物线焦点 的距离 ( ). C A.12 B.10 C.8 D.6 [解析] 因为 ，所以 ，所以 . 9 4.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 轴上，抛物线上的点 到焦点的距 离为4，则 ____. <m></m> [解析] 由已知，可设抛物线方程为 .由抛物线的定义得 ， ， .将点 的坐标代入 ，得 , . 10 探究1 抛物线的定义 问题1： 在抛物线的定义中，若去掉条件“ 不经过点 ”，点的轨迹还是抛物线吗？ [答案] 不一定是抛物线.当直线 经过点 时，点的轨迹是过点 且垂直于定直线的一 条直线， 不经过定点 时，点的轨迹是抛物线. 问题2： 到定点 和定直线 距离相等的点的轨迹是什么？ [答案] 根据抛物线的定义，可以判断该轨迹是抛物线. 合作探究 11 新知生成 抛物线的定义 平面内与一个定点 和一条定直线 距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点 叫作抛物线的焦点，直线 叫作抛物线的准线. 12 新知运用 例1 如图，在同一平面内， ， 为两个不同的定点，圆 和 圆 的半径都为 ，射线 交圆 于点 ，过点 作圆 的切 线 ，当 变化时， 与圆 的公共点的轨迹是 ( ). D A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 13 [解析] 设切线 与圆 的公共点为 ，过点 作直线 的垂 线 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如图， 则 ， ，所以 ，即动点 到定点 的距离等于动点 到定直线 的距离，且定点 不在定直线 上，根据抛物线的定义知，动点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线.故选D. 14 若点 到直线 的距离比它到点 的距离小1，则点 的轨迹为( ). D A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [解析] 依题意，点 到直线 的距离等于它到点 的距离，故点 的轨迹是抛物线. 15 探究2 抛物线的标准方程 问题1： 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，小明给出下列三种建立坐标系求抛物线方程的方法，你认为哪一种坐标系求出的方程最简单？ 16 [答案] 通过建立等式，化简得出方程并比较可得，建立图（3）中的坐标系求出的方程最简单. 17 问题2： 你能根据图（3），推导出抛物线的标准方程吗？ [答案] 设 ， ，则焦点 ，准线 . 由抛物线的定义可得 ，两边平方并整理，可得 ，这就是所求的轨迹方程. 问题3： 抛物线的标准方程有什么特点？ [答案] 等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次项. 问题4： 若抛物线的焦点坐标为 ，则