3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 1 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课时1 双曲线的简单几何性质 2 1.了解双曲线的图形及简单几何性质.（直观想象） 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.（直观想象） 3.会用双曲线的几何性质解决相应的问题.（逻辑推理） 学习目标 3 1.类比椭圆的几何性质，结合图形，你能得到双曲线 的哪些 几何性质？ [答案] ， 的范围，实轴长，虚轴长,焦点，焦距,对称性,顶点坐标和离心率． 2.你知道双曲线 的顶点坐标、实轴长、虚轴长分别是什么吗？ [答案] 顶点坐标是 ， ，实轴长为 ，虚轴长为 ． 自主预习 4 3.双曲线的渐近线的定义是什么?你能写出渐近线方程吗？ [答案] 一般地，双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，这两条直线叫作双曲线的渐近线.双曲线 的渐近线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 ． 5 4.双曲线离心率的表达形式与椭圆一样，那么它们的范围相同吗？ [答案] 它们的范围不同，双曲线离心率的范围是 ，椭圆离心率的范围是 ． 5.什么是等轴双曲线?它的离心率是多少？ [答案] 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的离心率 ． 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）共渐近线的双曲线的离心率相同.( ) × （2）若双曲线的渐近线互相垂直，则离心率 .( ) √ （3）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( ) × （4）双曲线 与 的形状相同.( ) √ 7 2.已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为( ). B A.1 B.2 C. D. [解析] 因为双曲线 的实半轴长 ，所以该双曲线的实轴长为2． 8 3.已知双曲线 的离心率为3，则 ( ). B A.3 B. C.2 D.1 [解析] 由题意得 ， ，因为 的离心率为3，所以 ，解得 ． 9 4.若双曲线 的渐近线方程为 ，则实数 ___． 4 [解析] 双曲线 的焦点在 轴上， 渐近线方程为 ， ,即 ． 10 探究1 双曲线的范围、对称性和顶点 问题1： 观察平面直角坐标系中的双曲线 ,它有怎样的范围？ 你能利用它的方程给出证明吗？ [答案] 发现双曲线上点的横坐标的范围是 或 ，纵坐标的范围是 .证 明如下： ， ，即 ，解得 或 .同理 可得 ． 合作探究 11 问题2： 观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？在平面直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？ [答案] 双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形.要证明一个图形关于坐标轴或原点对 称，就要证明在标准方程中，把 换成 ，或把 换成 ，或把 ， 同时换成 ， 时，方程都不变，所以图形关于 轴、 轴和原点都是对称的.根据上述方法 可以证明，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心． 12 问题3： 观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？ [答案] 双曲线与坐标轴的交点比较特殊． 在标准方程 中，令 ,得 ；令 ，则 无解.这说明双曲线有两个顶点,分别为 ， .如图，对称轴上位于两顶点间的线段 叫作双曲线 的实轴，其长度为 ，尽管此双曲线与 轴无公共点， 但 轴上有两个特殊的点 ， .我们称线段 为双曲线的虚轴，其 长度为 ． 13 新知生成 双曲线的简单几何性质 标准方程 性质 图形 焦点 ， ， 14 双曲线的简单几何性质 性质 焦距 范围 或 ， 或 ， 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心： 顶点 ， ， 轴 实轴：线段 ，长为 .虚轴：线段 ，长为 .实半轴长为 ，虚半轴长为 续表 15 特别提醒：（1）焦点到渐近线的距离为 ; （2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图； （3）双曲线上的点到焦点的最小值为 ． 16 新知运用 例1 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出草图. 方法指导 先把方程化为标准形式，求出 ， ， 的值，然后求解. 17 [解析] 将 化为标准方程，得 ，即 ， 所以 ， ， . 故顶点坐标为 ， ， 焦点坐标为 ， ， 实轴长为 ，虚轴长为 . 草图如图所示： 18 &1& 由双曲线的方程研究其几