3.2.1 双曲线的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 1 3.2.1 双曲线的标准方程 2 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线标准方程的推导过程.（数学抽象，数学运算） 2.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形.（逻辑推理） 学习目标 3 1.观察教材第122页图3.2-1,思考下列问题： （1）在点 移动的过程中， 的值发生变化吗？ [答案] 不变． （2）动点 的轨迹是什么？ [答案] 双曲线. 自主预习 4 2.利用教材第123页图3.2-2所建立的平面直角坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程. [答案] 设点 ， ， ，因为 , , ，所以 ,可得 ，令 ，则 双曲线的标准方程为 . 3.在双曲线的标准方程中， ， ， 的关系与椭圆一样吗？ [答案] 不一样.在椭圆中， ;在双曲线中， ． 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方程 表示双曲线.( ) × （2）双曲线两焦点之间的距离称为焦距.( ) √ （3）若焦点在 轴上的双曲线方程为 ，则 .( ) × （4）双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值.( ) √ 6 2.已知双曲线 的左、右焦点分别是 , ，焦距为8, 是双曲线左 支上的一点，且 ，则 的值为( ). B A.1 B.9 C.1或9 D.9或13 [解析] 依题意知 ，所以 ，解得 .因为 ，且 ，所以 ． 7 3.在方程 中，若 ，则该方程所表示的曲线是( ). C A.焦点在 轴上的椭圆 B.焦点在 轴上的双曲线 C.焦点在 轴上的双曲线 D.焦点在 轴上的椭圆 [解析] 易得 , ,所以方程 可化为 .由 知 ，故方程所表示的曲线是焦点在 轴上的双曲线． 8 4.已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 的纵坐标 为4，求双曲线的标准方程． [解析] 易知椭圆 的两个焦点坐标分别为 ， ，点 的坐标为 或 ，设双曲线的标准方程为 ， 所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为 ． 9 探究1 双曲线的定义 如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选 择一点，分别固定在点 ， 上，把笔尖放在拉链的拉手 处， 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线， 这条曲线就是双曲线的其中一支；再把拉链的两边交换位置分别 固定在 和 处，用同样的方法可以画出双曲线的另一支. 合作探究 10 问题1： 类比椭圆的定义，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？ [答案] 为定值 ． 问题2： 若在双曲线的定义中，将“小于 ”改为“等于 ”或“大于 ”或 “常数为0”的常数，其他条件不变，则点的轨迹是什么？ [答案] 当距离之差的绝对值等于 时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是 ， ；当距离之差的绝对值大于 时，动点的轨迹不存在;如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段 的垂直平分线． 11 问题3： 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ [答案] 双曲线的一支． 问题4： 在双曲线的定义中， ， 分别为双曲线的左、右焦点，若 为大于0的常数 ，且 ，则点 的轨迹是什么？ [答案] 点 的轨迹是双曲线的右支． 12 新知生成 双曲线的定义 平面上到两个定点 ， 的距离之差的绝对值为正常数（小于 ）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点 , 叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离 叫作双曲线的焦距． 13 新知运用 例1 已知圆 ，圆 . （1）若动圆 与圆 外切，且与圆 内切，判断动圆圆心 的轨迹； [解析] 设动圆 的半径为 ， 因为圆 与圆 外切，且与圆 内切， 所以 ， ， 故 ，且 , 所以圆心 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支. 14 （2）若动圆 同时与圆 及圆 相外切，判断动圆圆心 的轨迹. [解析] 如图，设动圆 的半径为 ，根据两圆外切的条件，得 ， ，则 ,且 . 这表明动点 与两定点 ， 的距离之差是常数2.由双曲线的定义 知，圆心 的轨迹是以 , 为焦点的双曲线的右支. 15 方法指导 根据双曲线的定义判断，注意轨迹是双曲线的一支还是两支，以及是否需要挖去部分点. 16 &1& 利用定义法判断动点的轨迹是双曲线的注意点：（1）注意条件