3.1.1 椭圆的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 1 3.1.1 椭圆的标准方程 2 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.（数学抽象） 2.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.（数学运算） 3.掌握用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.（逻辑推理、直观想象） 学习目标 3 阅读教材第112页“实验”中的内容，思考下列问题： 1.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点 , 上（绳子长度大于 ）（图3.1-1）,那么套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ [答案] 椭圆. 2.笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点 和 的距离之和是一个定值吗？ [答案] 是,其距离之和始终等于细绳的长度． 自主预习 4 3.观察教材第112页图3.1-2.设 ， ， ，其中 ,且 ，则椭圆的焦距是什么？点 的轨迹方程是什么？ [答案] 椭圆的焦距是 ，点 的轨迹方程是 ． 4.设 ， ， ，其中 ,且 ，则椭圆 的焦点位置变了吗？焦距呢？点 的轨迹方程是什么？ [答案] 椭圆的焦点位置变了，焦点在 轴上，焦距没变，还是 ，点 的轨迹方程为 ． 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆.( ) × （2）椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( ) × （3）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足 .( ) √ （4）方程 表示的曲线是椭圆.( ) √ 6 2.若椭圆 上一点 到焦点 的距离为3，则点 到另一焦点 的距离为 ( ). B A.6 B.7 C.8 D.9 [解析] 根据椭圆的定义知， ，因为 ，所以 ． 7 3.若椭圆的两个焦点坐标分别为 ， ，且椭圆上一点到两个焦点的距离 之和为20，则此椭圆的标准方程为( ). C A. B. C. D. [解析] 由题意知 ， ， ， ，故椭圆的标准方程为 ． 8 4.若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是________________． <m></m> [解析] 方程 表示椭圆， 解得 且 ， 的取值范围是 ． 9 探究1 椭圆的定义 问题1： 当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面和圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？ [答案] 如图， 如果用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，那么当截面与轴所成的角度不同时，得到的截口曲线也不同.它们分别是椭圆、双曲线、抛物线，统称为圆锥曲线． 合作探究 10 问题2： 椭圆是圆锥曲线的一种，在科研、生产和生活中具有广泛的应用.在生活中，哪些地方有椭圆的身影呢？ [答案] 椭圆形桌子、盘子，火腿肠的斜切面等． 问题3： 取一条细绳，用图钉把绳子两端固定，用铅笔尖（ ）把细绳拉紧，在图纸 上慢慢移动，看看能画出什么图形？改变固定细绳的图钉之间的距离，图形会发生什 么变化？这一过程中，移动的笔尖（动点 ）满足的几何条件是什么？ [答案] 第一幕：细绳两端相距特别近，图形很接近圆. 第二幕：细绳两端相距适中，图形扁一些，椭圆形状更直观． 第三幕：细绳两端相距较远，笔尖绕着细绳转动，图形更扁长． 点 到两定点的距离之和是常数． 11 问题4： 在定义中，如果 ，那么动点的轨迹又是什么？ [答案] 当 时,点 的轨迹为线段 ; 当 时,点 的轨迹不存在. 12 新知生成 椭圆的定义：平面上到两个定点 , 的距离之和为常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点 , 叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离 叫作焦距． 13 新知运用 例1 在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点 与两个焦点 ， 的距离之和等于4， 且 ，则 的面积为_ ___. <m></m> [解析] 由题意知 ， . 在 中，由余弦定理得 ， 即 , ① 又 , ② 联立①②可得 , 所以 . 14 &1& 椭圆的定义具有双向作用，即若 ，则点 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 到两焦点的距离之和必为 . 15 设椭圆上的一点 与两个焦点 ， 的距离之和等于10，过点 的直线交椭圆于 ， 两点.若 ,则 ___. 8 [解析] 由直线 过椭圆的一个焦点 ,知 ,且 , 所以在 中， ,