第3章 3.1.1 椭圆的标准方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从椭圆定义辨析到综合应用，梯度递进，强化数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|椭圆定义、标准方程及简单应用|选择填空为主，如定义充要条件判断、方程求解，巩固概念与运算| |能力提升练|定义深化、几何性质综合应用|含多选、解答题，如动圆轨迹、焦点三角形面积，培养逻辑推理与创新意识|

第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 基础过关练 题组一　椭圆的定义及其应用 1.(2024浙江嘉兴八校联盟期中联考)已知平面内两定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025山东济宁第一中学期中)设F1,F2分别为椭圆C:+=1的两个焦点,过F1且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　) A.4　　　　　B.8　　　　　C.12　　　　　D.16 3.设P是椭圆C:+=1上一点,F1(-3,0),F2(3,0)分别是C的左、右焦点,|PF1|=3,则|PF2|=(　　) A.5　　　　　B.10-3　　　　　 C.4　　　　　D.2-3 4.(2025河北石家庄二中期中)已知F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,M为椭圆C上一点,若∠F1MF2=90°,则△F1MF2的面积为　　　　.  5.(2024浙江宁波鄞州中学期中)已知P是圆C:(x+2)2+y2=64上的动点,A(2,0).若线段PA的中垂线交CP于点N,则点N的轨迹方程为　　　　　　　.  题组二　椭圆的标准方程 6.(2025四川眉山彭山一中月考)已知椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是(　　) A.(4,5)　　　　　B.(3,5)　　　　　C.(3,+∞)　　　　　　D.(3,4) 7.(2025宁夏青铜峡第一中学期中)以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　) A.+x2=1　　　　　 B.+y2=1 C.+y2=1或+x2=1　　　　　 D.以上都不对 8.(2025四川绵阳南山中学期中)在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6,则点A的轨迹方程为(　　) A.+=1(x≠±3)　　　　　B.+=1(x≠±2) C.+=1　　　　 　D.+=1 9.(2025甘肃兰州期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l垂直于x轴且交椭圆于A,B两点,|AB|=3,椭圆与y轴正半轴交于点D,|DF1|=2,则椭圆C的方程为(　　) A.+y2=1　　　　　B.x2+=1 C.+=1　　　　　D.+=1 10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以线段F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为P,则椭圆的方程为　　　　　.  11.(2025安徽卓越县中联盟、皖豫名校联盟期中联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与C交于A,B两点,若A,B,F1三点能构成边长为4的正三角形,则C的方程为　　　　　　.  题组三　椭圆的标准方程的应用 12.(2024河南南阳一中质量评估)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=(　　) A.　　　　　B.　　　　　 C.　　　　　D. 13.(2025江苏南通海安期中)已知椭圆C:+=1的一个焦点是F,过原点O的直线与C相交于A,B两点,△ABF的面积是20,则|AB|=(　　) A.5　　　　　B.5　　　　　 C.　　　　　D.10 14.已知点P(n,1),椭圆+=1,点P在椭圆外,则实数n的取值范围为　　　　　　.  15.(2025河北名校联合体期中)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点M在C上,点A(,1),则|MA|+|MF1|的取值范围为　　　　.  16.(2025河北衡水二中月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若点P在第一象限内,且·≤,求点P的横坐标的取值范围. 17.设O为坐标原点,动点M在椭圆E:+=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=. (1)求点P的轨迹方程; (2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|恒成立?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由. 能力提升练 题组一　椭圆的定义及其应用 1.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,P是椭圆C上的任意一点且不在x轴上,M是线段PF的中点,O为坐标原点.连接OM并延长,交圆x2+y2=a2于点N,则△PFN的形状是　　(　　) A.锐角三角形　　　　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　　　　D.由点P的位置决定 2.(2024吉林白山抚松第一中学月考)已知定圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49,定点M(2,1),动圆C满足与C1外切且与C2内切,则|CM|+|CC1|的最大值为(　　) A.8+　　　　　B.8- C.16+　　　　　D.16- 3.(多选题)(2024福建莆田期中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,与x轴的负、正半轴的交点分别是A,B,点P是C上的一个动点,则下列结论正确的有(　　) A.不存在点P,使得∠F1PF2= B.cos∠APB的最小值为- C.若∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为 D.点P到点(1,0)的距离的最小值为 4.(2024安徽池州贵池期中)已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且点M与C的焦点不重合,若点M关于C的左、右焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=　　　　.  题组二　椭圆的标准方程及其应用 5.(2025福建莆田第二十五中学期末)椭圆+=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点P到x轴的距离为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 6.(2025山东菏泽期中)已知椭圆C:+=1(m>n>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,直线PF1,PF2的斜率分别为,-2,且△PF1F2的面积为4,则C的方程为(　　) A.+=1　　　　　B.+y2=1 C.+=1　　　　　D.+=1 7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,点P(,1)在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆C的方程; (2)设点P关于x轴的对称点为Q,M是椭圆C上不同于P,Q的一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 基础过关练 1.B　当|PA|+|PB|=|AB|时,动点P的轨迹为线段AB,当|PA|+|PB|>|AB|时,动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,故充分性不成立;由椭圆的定义可知必要性成立.故甲是乙的必要不充分条件. 2.B　如图,△ABF2的周长L=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a, 由椭圆方程可知a=2,所以△ABF2的周长为8. 3.A　依题意得椭圆C的焦点在x轴上,且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因为|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=2=8,所以|PF2|=5. 4.答案　1 解析　根据题意可知a=,b=1,则c=1,所以|F1F2|=2c=2. 由M为椭圆C上一点及椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a=2,所以(|MF1|+|MF2|)2=8,即|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=8. 又∠F1MF2=90°,所以|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4, 所以|MF1||MF2|=2, 因此△F1MF2的面积为|MF1||MF2|=1. 5.答案　+=1 解析　圆C的圆心为C(-2,0),半径r=8,连接NA,由线段PA的中垂线交CP于点N,可得|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8>|CA|=4,故点N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=8,2c=4,即a=4,c=2,因此b2=a2-c2=12,所以点N的轨迹方程为+=1. 6.A　∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆, ∴解得4<k<5,即k的取值范围是(4,5). 7.A　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得 ∴椭圆的标准方程为+x2=1. 8.A　易得|BC|=4,因为|AB|+|AC|=6>4=|BC|,A,B,C是三角形的三个顶点, 所以点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,但不包括x轴上的点,则a=3,c=2,所以b2=a2-c2=5, 所以顶点A的轨迹方程为+=1(x≠±3). 9.C　把x=-c代入椭圆方程,得y=±,所以|AB|==3,即=.易知D(0,b),F1(-c,0),所以|DF1|==2,即a=2,故b2=3,故椭圆C的方程为+=1. 10.答案　+=1 解析　根据题意知|PO|===c, 故F1(-,0),F2(,0). ∴|PF1|+|PF2| = + =4+2=6=2a,∴a=3,∴b2=a2-c2=4, ∴椭圆的方程为+=1. 11.答案　+=1 解析　由题意知当AB⊥F1F2时,△ABF1是边长为4的正三角形,如图. 由正三角形的对称性,可知|F1F2|=2c=4×=2,|BF2|=|AB|=2, 所以c=,|BF1|+|BF2|=2a=6,即a=3, 又b2=a2-c2=6, 所以椭圆的方程为+=1. 12.D　由已知得a=5,b=3,椭圆的焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0),恰好是A,C两点,则|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,所以===. 13.D　由题意得c2=45-20=25,所以c=5,即|OF|=5, 因为△ABF的面积为20, 所以△AOF的面积为10, 设A(xA,yA),则|OF|·|xA|=10,解得|xA|=4, 将|xA|=4代入C:+=1,解得|yA|=3, 故|OA|==5, 则|AB|=2|OA|=10. 14.答案　∪ 解析　因为点P(n,1)在椭圆+=1外,所以+>1,解得n<-或n>,故实数n的取值范围为∪. 15.答案　[5,7] 解析　由椭圆C:+=1,可得a2=9,b2=4,c2=9-4=5,所以a=3,b=4,c=,所以F2(,0), 因为点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=6, 由于|MA|+|MF1|=|MA|+6-|MF2|, 且||MA|-|MF2||≤|AF2|=1, 所以|MA|+|MF1|的取值范围是[5,7]. 16.解析　(1)由题意得∴ ∴椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0), ∵c=,∴F1(-,0),F2(,0), ∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0), ∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3. ∵点P在椭圆C上,∴+=1,即=1-, ∴·=+-3=+1--3≤, 解得-≤x0≤,又∵x0>0,∴0<x0≤, ∴点P的横坐标的取值范围是(0,]. 17.解析　(1)设P(x,y),M(x1,y1), 则N(x1,0),=(x-x1,y),=(0,y1). ∵点M在椭圆E上,∴+=1(*), 由=,得即 代入(*)式,得x2+y2=4, 即点P的轨迹方程为x2+y2=4. (2)存在.设点B(m,0), ∵|BP|=2|AP|,∴=2, 即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4, 由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4, 故解得m=4, ∴存在点B(4,0)满足条件. 能力提升练 1.B　不妨设F是椭圆C的右焦点,左焦点为F1,连接PF1, 则|PF1|+|PF|=2a.如图,在△PFF1中,O,M分别是FF1,PF的中点,∴|PF1|=2|OM|,|PF|=2|PM|, ∴|PF1|+|PF|=2|OM|+2|PM|=2a,即|OM|+|PM|=a,∴|MN|=|ON|-|OM|=a-(a-|PM|)=|PM|, ∴|MN|=|PM|=|MF|,∴N在以线段PF为直径的圆上,∴∠PNF=90°,故△PFN的形状是直角三角形. 2.A　由题意知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为7.设动圆C的半径为r,由动圆C满足与C1外切且与C2内切,知|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以动点C的轨迹是以C1和C2为焦点、8为长轴长的椭圆[除去点(-4,0)],易得其方程为+=1(x≠-4),连接CC2,MC2由椭圆的定义可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|,又因为|CM|-|CC2|≤|MC2|=(当点C在MC2的延长线上时取等号),所以|CM|+|CC1|≤8+,即|CM|+|CC1|的最大值为8+. 3.BCD　设椭圆与y轴的正、负半轴的交点分别为D,E,由椭圆方程知a=2,b=1,c=, 所以F1(-,0),F2(,0),A(-2,0),B(2,0),D(0,1),E(0,-1),则=(-,-1),=(,-1), 所以·=-3+1=-2<0, 故∠F1PF2最大时为钝角,即存在点P,使得∠F1PF2=,故A错误; 当点P运动到D或E的位置时,∠APB最大,cos∠APB最小, 此时|AD|=|BD|==,且|AB|=4, 在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB===-,所以cos∠APB的最小值为-,故B正确; 设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a=4,即m2+n2+2mn=16①, 由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos,即m2+n2-mn=12②, ①-②可得3mn=4,即mn=, 所以=mnsin=××=,故C正确; 设P(x0,y0),-2≤x0≤2,则+=1, 所以点P到点(1,0)的距离为==, 当x0=时,[]min=,故D正确. 4.答案　12 解析　设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,连接DF1,DF2, ∵F1,D分别是MA,MN的中点,∴|DF1|=|AN|, 同理,|DF2|=|BN|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|), ∵点D在椭圆上,∴|DF1|+|DF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12. 5.C　易得c==6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=+-2r1r2cos 60°,即144=+-r1r2=-3r1r2=400-3r1r2,则r1r2=,所以=r1r2sin 60°=××=.设点P到x轴的距离为d,则=×|F1F2|×d=6d,故6d=,解得d=,所以点P到x轴的距离为. 6.C　由题得×=-1,∴∠F1PF2=,∴△PF1F2是直角三角形.∴==, 设|PF1|=2t,|PF2|=t,t>0, 则=|PF1||PF2|=·2t·t=t2=4, ∴t=2,故|PF1|=4,|PF2|=2, ∴2=|PF1|+|PF2|=6,∴m=9, ∵2c=|F1F2|==2, ∴c==,∴n=4, ∴椭圆C的方程为+=1. 7.解析　(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2,则椭圆C:+=1. 将点P(,1)的坐标代入+=1,得+=1,∴b2=2,∴椭圆C的方程是+=1. (2)证明:由点P,Q关于x轴对称,得Q(,-1). 设M(x0,y0),x0≠,y0≠±1,则+2=4. 直线MP的方程为y-1=(x-), 令y=0,得x=,∴|OE|=. 直线MQ的方程为y+1=(x-), 令y=0,得x=,∴|OF|=. ∴|OE|·|OF|=·===4, ∴|OE|·|OF|为定值. 7 学科网（北京）股份有限公司 $